| 1
Ist ein Raum denkbar, der nur alle rationalen aber
nicht die irrationalen Punkte enthält.
Und das heisst nur: Sind die irrationalen Zahlen nicht in den rationalen bereits präjudiziert. |
| Es scheint viel dafür zu
sprechen, dass die Abbildung des
Gesichtsraumes durch die Physik wirklich die einfachste
ist. D.h.
dass die Physik die wahre
Phänomen[lg|ol]ogie wäre.
Aber dagegen lässt sich etwas einwenden: Die Physik strebt nämlich Wahrheit, d.h. richtige Voraussagungen der Ereignisse an, während das die Phänomenologie nicht tut, sie strebt Sinn nicht Wahrheit an. |
| Aber man
kann sagen: Die Physik hat eine Sprache und in dieser
Sprache sagt sie Sätze. Diese Sätze
können wahr oder falsch sein. Sie bilden
die Physik und ihre Grammatik die Phänomenologie (oder wie
man es nennen will). |
| Es gibt
eine bestimmte Mannigfaltigkeit des Sinnes und eine
andere Mannigfaltigkeit der
Gesetze. Grammatische &
physikalische Gesetze? |
|
Die Physik unterscheidet sich von der Phänomenologie dadurch,
dass sie Gesetze feststellen
will. Die Phänomenologie stellt nur die
Möglichkeiten fest. Dann wäre also die
Phänomenologie die Gramatik der Beschreibung
derjenigen Tatsachen, auf denen die Physik ihre Theorien
aufbaut. |
| Erklären ist mehr als
beschreiben. Aber jede Erklärung enthält eine
Beschreibung. |
| Irgendwie scheint es mir,
als wäre jeder einfärbige Fleck im Gesichtsfeld einfach
und seine Zusammengesetztheit aus kleineren Teilen nur eine
scheinbare. |
Man
könnte glauben der Gesichtsraum sei aus minima
visibilia zusammengesetzt, etwa aus lauter kleinen Quadraten,
die man als unteilbare Flecke sieht. Aber dann ist die
Wahl dieser Teile offenbar willkürlich. Ich
könnte z.B. nicht sagen, wie das
Quadratnetz über ein bestimmtes Bild zu legen ist, denn wenn man
das Netz um weniger als eine Maschenweite verschiebt,
so sind die minima visibilia zwar in ganz anderen Orten
aber das Bild sieht ganz gleich aus. | /? |
Es
scheint als könne man einen einfärbigen Fleck nicht
zusammengesetzt sehen, ausser wenn man ihn
sich nicht einfärbig vorstellt. Die
Vorstellung einer Trennungslinie macht den Fleck
mehrfärbig, denn die Trennungslinie muss
eine andere Farbe haben als der übrige
Fleck. | / \ |
|
Das würde
heissen: Die einfachen
Bestandteile des Gesichtsfeldes sind einfärbige
Flecke. Wie verhält es sich aber dann mit den kontinuierlichen Farbenübergängen?
„p.q = p” heißt
„q folgt aus p”
⌋⌋
2 |
| ⌊⌊
„p.q = p” heißt
„q folgt aus p”
⌋⌋
|
Kann man sagen, dass der kleinere Fleck
einfacher ist als der grössere?
Nehmen wir an sie seien einfärbige Kreise, worin soll die grössere Einfachheit des kleineren Kreises bestehen? Man könnte sagen, der grössere kann zwar aus dem kleineren und noch einem Teil bestehen, aber nicht vice versa. Aber warum soll ich nicht den kleineren als die Differenz des grösseren und des Ringes darstellen? Es scheint mir also, der kleinere Fleck ist nicht einfacher als der grössere. | / \ |
| Es scheint eine eigentümliche
Eigenschaft der räumlichen Aussagen, dass
man den Raum ohne irgendeine Anspielung auf die Zeit nicht
beschreiben kann es ist von vornherein wahrscheinlich,
dass die Zeit in die Betrachtung des
Gesichtsraumes nicht nachträglich als ein Anhängsel
eintreten kann. |
Ein Gegenstand darf
sich in gewissem Sinne nicht beschreiben lassen.
D.h. die Beschreibung darf ihm keine Eigenschaften zuschreiben, deren Fehlen die Existenz des Gegenstandes selbst zu nichte machen würde. D.h. die Beschereibung darf nicht aussagen, was für die Existenz des Gegenstandes wesentlich wäre. | /? |
Ich sagte einmal, es
gäbe keine extensionale Unendlichkeit.
Ramsey sagte
darauf“ “Kann man sich nicht vorstellen,
dass z.B. ein Mensch
ewig lebt, d.h. einfach nie stirbt, und ist
das nicht extensionale Unendlichkeit Ich kann
mir doch gewiss denken
dass ein Rad sich dreht und nie
stehen bleibt.
Hier liegt eine merkwürdige Schwierigkeit:
Es scheint mir unsinnig zu sagen, dass
in einem Raum unendlich viele Körper sind, gleichsam als
etwas Zufälliges. Dagegen kann ich mir ja
intensionale ein une[d|n]dliches Gesetz
denken (oder eine une[d|n]dliche Regel) durch die
immer Neues produziert wird – ad
in[v|f]initum – aber natürlich nur, was
eine Regel produzieren kann, nämlich Konstruktionen.
Und nun scheint es, dass die unendlichen Umdrehungen eines Rades Konstruktionen sein können, während ich neue Gegenstände nicht konstruieren kann. | ✓ /? |
Angenommen, wir wandern auf einer Geraden in den
euklidischen Raum hinaus und
sagen, wir begegnen alle 10 Meter eine
eiserne Kugel von gewissem Durchmesser, ad
in[v|f]initum; ist das eine
Konstruktion? Es scheint ja. Das
Merkwürdige ist, dass man einen
solchen unendlichen Komplex von Kugeln auffassen kann, als das endlose
Wiederkehren derselben Kugel nach einem gewissen
Gesetz. Dass aber im selben
Augenblick, wenn man eine individuelle Verschiedenheit der Kugeln
denkt, ihre unendliche Anzahl Unsinn zu werden scheint.
| ✓ /? |
Die
bloss negative Beschreibung des
Nichtaufhörens
kann keine possitive Unendlichkeit liefern.
Dieses negative Kennzeichen genügt wohl für die intensionale Unendlichkeit. Hier bedeutet es nur, dass eine Operation ihrem Wesen nach auf ihr eigenes Resultat angewandt werden kann. | ✓ /? |
Angenommen, mein Gesichtsbild besteht aus zwei
gleichgrossen roten Kreisen auf blauem
Grund: Was ist hier in zweifacher Zahl vorhanden und was
einmal? Und was bedeutet diese Frage
überhaupt? Man könnte sagen, wir haben hier eine Farbe aber zwei Oertlichkeiten. Aber kann man denn von Oertlichkeiten reden, ohne sie sich erfüllt zu denken, also als blosse Möglichkeiten? 3 | ✓ / \ |
Ein scheinbarer Ausweg
wäre natürlich der, zu sagen, rot, kreisförmig, sind
Eigenschaften (Externe)
von zwei Gegenständen, die man etwa Flecke nennen könnte
und diese Flecke stehen ausserdem in
gewissen räumlichen Beziehungen zu einander; aber das ist
Unsinn. | /? |
Es ist offenbar möglich, die Identität eines Ortes im
Gesichtsfeld festzustellen, denn sonst könnte man nicht
unterscheiden, ob ein Fleck immer im gleichen Ort bleibt oder
ob er seinen Ort ändert. Denken wir uns einen Fleck,
der verschwindet, und wieder auftaucht, so können wir doch
sagen, ob er am gleichen Ort wieder erscheint, oder an einem
anderen. (Physiologisch könnte man das so
erklären, dass die einzelnen Punkte
der Retina lokale Merkmale haben)
Man kann also wirklich von gewissen Orten im Gesichtsfeld sprechen und zwar mit demselben Recht, wie man von verschiedenen Orten auf der Netzhaut spricht. Wäre ein solcher Raum mit einer Fläche zu vergleichen, die in jedem ihrer Punkte eine andere Krümmung hätte, so dass jeder Punkt ein ausgezeichneter Punkt ist? | ✓ / \ |
Man kann auch sagen, der Gesichtsraum ist ein gerichteter
Raum, ein Raum, in dem es ein Oben und Unten, und ein Rechts und
Links gibt. Und dieses Oben und Unten, Rechts und Links hat nichts mit der Schwerkraft oder der rechten und linken Hand zu tun. Es würde z.B. auch dann seinen Sinn beibehalten, wenn wir unser ganzes Leben lang durch ein Teleskop zu den Sternen sehen. | ✓ / \ |
Angenommen, wir sehen durch ein Fernrohr nach dem
Sternhimmel, dann wäre unser Gesichtsfeld
gänzlich dunkel mit einem helleren Kreis und in diesem Kreis
wären Lichtpunkte. Nehmen wir ferner an, wir
hätten unsern Körper nie gesehen, sondern immer nur
dieses Bild, wir könnten also nicht die Lage eines Sterns mit der
unseres Kopfes oder unserer Füße vergleichen.
Was zeigt mir dann, dass mein Raum ein Oben
und Unten etc. hat, oder einfach,
dass er gerichtet ist? Ich kann
jedenfalls wahrnehmen, dass sich das ganze
Sternbild im lichten Kreis dreht und
d.h., ich kann verschiedene Richtungen des
Sternbilds wahrnehmen. Wenn ich Ein
Buch verkehrt halte, so kann ich die Buchstaben nicht oder schwer
lesen. Dieser Sachverhalt ist nicht vielleicht dadurch erklärt, dass man sagt: Die Retina hat eben ein Oben und Unten etc. und so ist es leicht verständlich, dass es das Analoge im Gesichtsfeld gibt. Vielmehr ist eben das nur eine Darstellung des Sachverhalts auf dem Umweg über die Verhltnisse in der Retina. | ✓ / \ |
Wir können auch sagen, es verhält sich in
unserem Gesichtsfeld immer als sähen wir mit allem
Uebrigen ein gerichtetes Koordinatensystem,
wonach wir alle Richtungen fixieren können. –
Aber auch das ist keine richtige Darstellung, denn sähen
wir wirklich ein solches Koordinatenkreuz (etwa mit Pfeilen) so
wären wir tatsächlich im Stande nicht nur die relativen
Richtungen der Objekte gegen dieses Kreuz zu fixieren, sondern auch
die Lage des Kreuzes selbst im Raum, gleichsam
gegegen ein ungesehenes im Wesen dieses Raumes
enthaltenes Koordinatensystem. | ✓ / \ |
Wie müsste es sich mit
unserem Gesichtsfeld verhalten, wenn das nicht so
wäre? Ich könnten dann
natürlich relative Lagen und Lageänderungen sehen, aber
nicht absolute. D.h. aber
z.B. es hätte keinen Sinn von einer Drehung
des ganzen Gesichtsfelds zu reden. So weit ist es
vielleicht noch verständlich. Nehmen wir nun aber
an 4 wir sähen mit unserem
Fernrohr etwa nur einen Stern in einer gewissen
Entfernung vom schwarzen Rand.
Die[w|s]er Stern würde verschwinden und
wieder in der gleichen Entfernung vom Rand auftauchen.
Dann könnten wir nicht wissen ob er an der gleichen Stelle
auftaucht oder an einer andern. Oder es würden zwei
Sterne abwechselnd in gleicher Entfernung vom Rand kommen und
verschwinden, dann könnten wir nicht sagen, ob – oder
dass – es der gleiche oder verschiedene
Sterne sind. | ✓ / \ |
Wir könnten nicht nur “nicht
wissen ob”, sondern es hätte
keinen Sinn in diesem Zusammenhange vom gleichen oder
von verschiedenen Orten zu reden. Und da es in
Wirklichkeit Sinn hat, so hat unsern Gesichtsfeld nicht
diese Struktur. Es ist eben das
eigentliche Criterium der Struktur, welche
Sätze für sie Sinn haben – nicht, welche wahr
sind. Das zu suchen ist die Methode der
Phil[i|o]sophie | ✓ / \ |
Wir können das auch so darstellen: Nehmen wir an,
dass einmal für ein paar Augenblicke
ein gerichtetes Koordinatenkreuz in unserem Gesichtsfeld
aufgeflammt sei und
| ✓ / \ |
D.h. aber, wir haben die
Möglichkeit, eine mögliche Lage –
d.h. also eine Stelle – im Gesichtsfeld
zu beschreiben ohne uns auf etwas zu beziehen, was sich eben dort
befindet. Wir können also z.B.
sagen, etwas kann oben rechts sein usw.
(Die Analogie mit der gekrümmten Fläche wäre etwa, zu sagen: ein Fleck auf einem Ei kann sich nahe am stumpfen Ende befinden) | ✓ / \ |
Ich kann offenbar das Zeichen V einmal als ein v,
einmal als ein A, als das Zeichen für
[G|g]rösser oder für
kleiner sehen auch wenn ich es durch ein Fernrohr sähe und
seine Lage nicht mit der Lage meines Körpers vergleichen
kann. Vielleicht wird man sage[b|n], dass ich die Lage meines Körpers fühle ohne ihn zu sehen. Aber die Lage im Gefühlsraum (wie ich ihn einmal nennen will) hat mit der Lage im Gesichtsraum nichts zu tun, die beiden sind von einander unabhängig und gäbe es im Gesichtsraum keine absolute Richtung, so könnte man die Richtung im Gefühlsraum ihr gar nicht zuordnen. | ✓ / \ |
Kann ich nun
etwas
sage[b|n]: Die obere Hälfte meines
Gesichtsfeldes ist rot? Und was bedeutet
das? Kann es sagen, dass ein
Gegenstand (die obere Hälfte) die Eigenschaft
rot hat? Man muss sich daran erinnern, dass jeder Teil des Gesichtsraumes eine Farbe haben muss und dass jede Farbe einen Teil des Gesichtsraumes einnehmen muss. Die Formen Farbe und Gesichtsraum durchdringen einander | ✓ /? |
Stehen nicht Farbe
und Gesichtsraum zueinander im Verhältnis wie Argument
und Funktion? Die Formen von Argument und
Funkt[u|i]on müssen einander auch
durchdringen. | ✓ /? |
Es ist klar,
dass es keine Relation des “Sich Befindens” gibt, die zwischen einer Farbe und einem Ort
bestünde, in dem sie “sich
befindet”. Es gibt kein
Zwischenglied zwischen Farbe und Raum.
Farbe und Raum sättigen einander. Und die Art, wie sie einander durchdringen, macht das Gesichtsfeld. | ✓ /? |
Man braucht
– so kommt es mir vor – um den Raum darzustellen
gleichsam ein dehnbares Zeichen.
Vielleicht ein Zeichen, das eine Interpolation erlaubt, analog dem Dezimalsystem. Das Zeichen muss die Mannigfaltigkeit und Eigenschaften des Raumes haben.
6 | ✓ /? |
⌊⌊
| |
Ist nicht das
Dezimalsystem mit seiner unendlichen Möglichkeit der
Interpolation eben dieses Zeichen? | ✓ /? |
Die Regeln über das Zahlensystem – etwa das
Dezimalsystem – enthalten alles, was an den Zahlen unendlich
ist. Dass diese Regeln
z.B. die Zahlzeichen nach rechts und
[o|l]inks nicht beschränken, darin liegt
die Unendlichkeit ausgedrückt. Man könnte vielleicht sagen: Ja, aber die Zahlzeichen sind doch durch den Gebrauch von Papier und Schreibmaterial und andere Umstände beschränkt. Sehr wohl, aber das ist nicht in den Regeln über ihren Gebrauch ausgedrückt und nur in diesen liegt ihr eigentliches Wesen ausgesprochen. | ✓ /? |
Welcher Art
ist der Satz “zwischen 5 und 8 gibt
es eine Primzahl”? Ich
würde sagen: “Das
zeigt sich”.
Und das ist richtig; aber kann man nicht die Aufmerksamkeit auf
diesen internen Sachverhalt lenken? Man könnte doch
sagen: Untersuche das Intervall von 10 bis 20 auf
Primzahlen. Wieviel gibt es? Wäre das
nicht eine klare Aufgabe? Und wie wäre ihre
Lösung richtig auszudrücken oder darzustellen.
Was bedeutet der Satz: “Zwischen 10 und 20 gibt es 4
Primzahlen”?
Dieser Satz scheint unsere Aufmerksamkeit auf einen gewissen Aspekt der Sache zu lenken. | ✓ /? |
Wenn ich jemanden
frage “Wieviele Primzahlen gibt
es zwischen zehn und zwanzig”,
so wird er sagen, ich weiss es nicht im
Augenblick aber ich kann es jederzeit feststellen. Denn
es ist ja gleichsam schon irgendwo aufgeschrieben. | /? – |
Man
könnte das auch so sagen: Der völlig analysierte
mathematische Satz ist sein eigener Beweis.
Oder auch so: der mathematische Satz ist nur die unmittelbar sichtbare Oberfläche des ganzen Beweiskörpers, den sie vorne bekränzt. Der mathematische Satz ist – im Gegensatz zu einem eigentlichen Satze – wesentlich das letzte Glied einer Demonstration, die ihn als richtig oder unrichtig sichtbar macht. | ✓ /? – |
Wie zeigt es
sich, dass der Raum keine Kollektion
von Punkten, sondern die Realysierung eines
Gesetzes ist. | ✓ /? |
Es scheint mir,
dass der Begriff der Distanz in der Struktur
des Gesichtsraumes unmittelbar gegeben ist.
Wenn das nicht so wäre und der Begriff der Distanz nur
durch eine Korrelation eines distanzlosen Gesichtsraumes mit einer
andern distanzhältigen Struktur mit dem
Gesichtsraum associert ist, dann ist
der Fall denkbar, dass durch eine
Aenderung dieser
Assossation die S
z.B. die Strecke a
grösser erscheint als die Strecke
b, obwohl wir den Punkt B noch immer zwischen A und
C gewahren. (Siehe
Figur)
| ✓ /? |
Es scheint, als müsste man erst die
ganze Raumstruktur ohne Sätze aufbauen; und dann kann man in
ihr alle korrekten Sätze bilden. 7 | ✓ / |
Man
bekommt sicher die richtige Mannigfaltigkeit der Bezeichnungen, wenn
man sich der analytischen
Gemotrie bedient.
Dass ein Punkt in der Ebene durch ein Zahlenpaar, im dreidimensionalen Raum durch ein Zahlentrippel dargestellt wird, zeigt schon, dass der dargestellte Gegenstand gar nicht der Punkt, sondern das Punktgewebe ist. | ✓ /? – |
Zu
sagen, dass eine bestimmte Farbe jetzt an
einem Ort ist, heisst diesen Ort
vollständig beschreiben. | ✓ – |
Es verhält sich übrigens mit Farben nicht
anders als mit Tönen oder elektrischen Ladungen.
Es handelt sich immer um die vollständige Beschreibung eines gewissen Zustandes in einem Punkt oder zur selben Zeit. Könnte es nicht folgendes Schema geben: Die Farbe in einem Punkt ist nicht durch die Zuordnung in einer Zahl zu einem Punkt besc⌊h⌋rieben, sondern durch die Zuordnung mehrerer Zahlen. Eien Mischung dieser Zahlen macht erst die Farbe und um die vollständige Farbe zu beschreiben brauche ich den Satz, dass diese Mischung nun die komplette Mischung ist, also nichts mehr dazukommen kann. Das wäre so, wie wenn ich den Geschmack eines Gerichtes beschriebe, in dem ich die Ingredienzien aufzähle; dann muss ich am Schluss den Zusatz machen, dass das nun alle Ingredienzien sind. So könnte man sagen, ist auch die Farbe erst dann fertig beschrieben, wenn alle ihre Ingredienzien angegeben sind, natürlich also mit dem Zusatz, dass es alle sind. Aber wie ist dieser Zusatz zu machen? Wenn in Form eines Satzes, dann müsste auch die unvollständige Beschreibung schon ein Satz sein. Und wenn nicht in Form eines eigenen Satzes, sondern nur durch irgend eine Art der Andeutung im ersten Satz, wie kann ich dann bewirken, dass ein zweier Satz von derselben Form dem ersten entspricht? Zwei Elementarsätze können einander ja nicht widersprechen. | ✓ /? ? |
Wie verhält es
sich aber mit allen scheinbar ähnlichen Aussagen, wie:
Ein materieller Punkt kann nur eine
Geschwindigkeit auf einmal haben, in einem Punkt einer geladenen
Oberdläche kann nur eine
Spannung sein, in einem Punkt einer warmen Fläche nur
eine Temperatur zu einer Zeit, in
einem Punkt eines Dampfkessels nur ein
Druck etc. Niemand kann daran zweifeln,
dass das alles
Selbstverständlichkeiten sind und die gegenteiligen Aussagen
Widersprüche. | ✓ – |
Wenn
nicht ich die Tatsachen des ersten Systems mit den
Bildern auf der Leinwand, und die Tatsachen im zweiten System mit
den Bildern auf dem Filmstreifen vergleiche, so gibt es auf dem
Filstreifen ein gegenwärtiges Bild, vergangene und
zukünftige Bilder; auf der Leinwand aber ist nur
die Gegenwart. Das eine charaktristische an dieserm Gleichnis ist, dass ich darin die Zukunft als präformiert ansehe. Es hat einen Sinn zu sagen, die zukünftigen Ereignisse seien präformiert, wenn es im Wesen der Zeit liegt, nicht abzureissen. Denn dann kann man sagen: Etwas wird geschehen ich weiss nur nicht, was. Und in der Welt der Physik kann man das sagen. 8 | ✓ – |
Es scheint
einfache Farben zu geben. Einfach als
psychologishe Erscheinungen. Was ich
brauche, ist eine psychologische Farbenlehre, keine physikalische und
ebensowenig eine physiologische. Und zwar muss es eine rein psychologische Farbenlehre sein, in der nur von wirklich Wahrnehmbarem die Rede ist und keine hypothetischen Gegenstände, ⌊–⌋ Wellen, Zellen etc. – vorkommen. | ✓ – |
Man kann nun unmittelbar Farben als Mischungen
von rot, grün, blau, gelb, schwarz, und
weiss erkennen. Dabei ist Farbe
immer color, nie pigmentum, nie Licht, nie
Vorgang auf oder in der Netzhaut etc.
Man kann auch sehen, dass die eine Farbe rötlicher ist als die andere, oder weisslicher etc. Aber kann ich eine Metrik der Farben finden? Hat es einen Sinn zu sagen, dass die eine Farbe etwa auf ihren Gehalt an in Bezug auf ihren Gehalt an Rot in der Mitte zwischen zwei andern Farben steht? Es scheint jedenfalls einen Sinn zu haben, zu sagen, die eine Farbe steht einer andern in dieser Beziehung näher als einer dritten. | ✓ – |
Hier
stossen wir auf das Problem, dass
auch in der Ausdehnung des Gesichtsraumes auftritt,
nämlich des kleinsten sichtbaren Unterschieds. Die
Existenz eines kleinsten sichtbaren Unterschieds widerspricht der
Kontinuität und andererseits müssen sie sich miteinander
vereinbaren lassen. | ✓ – |
Wenn ich eine Reihe von Flecken habe, die abwechselnd
schˇwarz und weiss sind, wie die
Figur zeigt so werde ich bei weiterer Unterteilung bald zu einer Grenze kommen, wo ich die schwarzen und weissen Flecke nicht mehr unterscheiden kann, wo ich also etwa den Eindruck eines grauen Streifens habe. Heisst das aber nicht, dass ich die Strecke in meinem Gesichtsfeld nicht beliebig unterteilen kann; und doch sehe ich keine Diskontinuität und auch das ist ja selbstverständlich, weil ich eine Diskontinuität nur sehen könnte, wenn ich noch nicht an der Grenze des Unterscheidbaren angelangt wäre. Das sieht sehr paradox aus. Aber wie ist es denn mit der Stätigkeit zwischen den einzelnen Reihen? Wir haben offenbar eine voletzte Reihe von unterscheidbaren Flecken und dann die letzte einfärbig graue Reihe; ist es denn dieser letzten Reihe anzusehen, dass sie wirklich durch Unterteilung der vorletzten entstanden ist? Offenbar nicht. Andererseits: Ist es aber der sogenannten vorletzten Reihe anzusehen, dass sie nicht mehr sichtbar unterteilt werden kann? Es scheint mir, ebensowenig. Dann gäbe es also doch keine letzte sichtbar unterteilte Reihe! Wenn ich die Strecke nicht mehr sichtbar unterteilen kann, so kann ich aber auch nicht den Versuch dieser Unterteilung machen, kann also auch nicht das Misslilingen eines solchen Versuches sehen. (Es ist hier wie mit der Grenzenlosigkeit des Gesichtsraums). Dasselbe würde natürlich auch von den Farbenunterschieden gelten. 9 | ✓ / \ |
Die Kontinuität in
unserm Gesichtsfeld besteht darin, dass wir
keine Diskontinuität sehen. | ✓ |
Wenn
die Welt der Daten zeitlos ist, wie kann man dann überhaupt
über sie reden? | ✓ ? |
Wenn die Erinnerung kein Sehen in die
Vergangenheit ist, wie wissen wir dann überhaupt,
dass sie mit Beziehung auf die Vergangenheit
zu deuten ist? Wir könnten uns dann einer
Begebenheit erinnern und zweifeln, ob wir in unserem
Erinnerungsbild ein Bild der Vergangenheit oder der Zukunft
haben. Man kann natürlich sagen: Ich sehe nicht die Vergangenheit, sondern nur ein Bild der Vergangenheit. Aber woher weiss ich, dass es ein Bild der Vergangenheit ist, wenn dies nicht im Wensen des Erinnerungsbildes leigt. Haben wir etwa durch die Erfahrung gelernt, diese Bilder als Bilder der Vergangenheit zu deuten? Aber was hiesse hier überhaupt “Vergangenheit”? | ✓ / \ |
Nun widerstreitet es aber allen Begriffen der physikalischen Zeit,
dass ich in die Vergangenheit wahrnehmen
sollte und das scheint wieder nichts anderes zu bedeuten als
dass der Zeitbegriff im ersten
System von dem in der Physik radikal verschieden sein
muss. | ✓ / \ |
Wenn man
fragt: Welches Erlebnis liegt dem Zeitbegriff, der Annahme
einer Zeit, zu Grunde; wie muss man
antworten? – Es ist die Erinnerung, wenn es eine
punktartige Gege[h|n]wart gibt; oder es ist eine
kontinuierliche Wahrnehmung deren einer Endpunkt die
Gegenwa[t|r]t ist, und die man in einem weiteren Sinne auch
Erinnerung nennen kann. | ✓ ? |
Eine räumliche Distanz kann durch eine Zahl
dargestellt werden. (Dieser Satz handelt nicht
von starren Maßstäben) Er
muss sich unmittelbar aus der Struktur des
Gesichtsraumes ergeben. Ich könnte dann, statt die räumliche Relation zweier Flecke a und b “aRb” zu schreiben, sie aNb schreiben, wo N eine Zahl ist, also eine dehnbare Relation. | ✓ / \ |
|
(x,y,z).
fx & fy & fz & |
(x,y,z). fx & fy & fz & non
(Ex,y,z,u). fx & fy & fz
& fu Wie müsste ich es nun anfangen, die allgemeine Form solcher Sätze zu schreiben? Diese Frage hat offenbar einen guten Sinn. Denn wenn ich nur einige solcher Sätze hinschreibe, so versteht man, was das Wesentliche dieser Sätze sein soll. | ✓ ? |
Ich sagte,
dass jeder Symbolismus solche Beschreibungen
voraussetzt. Wenn etwa Russell das Zeichen “(Ex …)” einführt, so kann er nicht alle Zeichen dieser Art
ad infinitum einführen, sondern er gibt
eine Regel, die wir verstehen müssen; eine
syntaktische Regel. 10 | ✓ ? |
Erinnern wir
uns: In der Arithmetik kommt die Zahl allein ohne den
Begriff vor, zu dem sie gehört. Dann ist die aber
doch ein unvollständiges Zeichen. Aber so kommt sie
ja auch nie in einem Satz vor; im Satz ist sie
immer|mit einem
Begriff verbunden. Kein Satz handelt von der Zahl
4. In der Arithmetik aber, wo die Zahlen für sich
vorkommen, stehen sie auch nicht in Sätzen.
Das Zahlzeichen ist ein Schema und ist in der Arithmetik aus seinem Zusammenhang gerissen. | ✓ – |
Die Zahlen sind Bilder der
Begriffsumfänge. | ✓ ? |
Man kann fragen, hat den die Zahl wesentlich etwas mit
einem Begriff zu tun? Ich glaube das kommt darauf
hinaus zu fragen, ob es einen Sinn hat, von einer Anzahl von
Gegenständen zu reden, die nicht unter einem Begriff gebracht
sind. Heisst es
z.B. etwas zu sagen: “a und b und c sind 3
Gegenstände”? Ich
glaube offenbar, nein. Es ist allerdings ein Gefühl
vorhanden, das uns sagt: Wozu von Begriffen reden;
die Zahl hängt ja nur vom Umfang des Begriffes ab
und wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff sozusagen
abtreten. Der Begriff ist nur eine Methode um einen
bestimm Umfang zu bestimmen, der Umfang
aber ist selbständig und in seinem Wesen unabhängig
vom Begriff; denn es kommt ja auch nicht darauf an durch
welchen Begriff wir den Umfang bestimmt haben. Das ist
das Argument für die [E|e]xtensionale
Auffassung. Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn
der Begriff wirklich nur ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu
gelangen, dann hat der Begriff in der Arithmetik nichts zu suchen;
dann muss man eben die Klasse
gänzlich [mit| von] dem zufällig mit ihr
verknüpften Begriff scheiden, im umgekehrten Fall aber ist
der vom Begriff unabhängige Umfang nur eine
Schi Chimaire und dann ist es besser von ihm
überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom Begriff.
| / \ ✓ |
Man könnte nun den Begriffsumfang wie einen Gegenstand
betrachten, dessen Name ja auch nur im Satzzusammenhang Sinn
hat. “a und b
und c” hat allerdings keinen
Sinn, das ist kein Satz. Aber “a” ist ja
auch kein Satz. | ? |
Jede Zahl kann man auffassen als
aus mehreren anderen bestehend. Es scheint mir
nämlich dass die Zerlegung einer
Zahl in ihre Sumanden eine unmittelbar einleuchtende
Operation ist und nicht einer Einführung auf dem Umweg
über Operationen mit
Wahrheitsfunfunktionen bedarf. | ? |
Es ist
merkwürdig, dass man im Falle der
Tautologie und Contradiktion wirklich
vo Sinn und Bedeutung im Sinne
Freges reden
k[a|ö]nnte.
Wenn man die Bedeutung der Tautologie ihre Ei[f|g]enschaft eine Tautologie zu sein ne nennt, dann kann man den Sinn der Tautologie die Art und Weise nennen, wie hier die Tautologie zu stande kommt. Das gleiche für die Kontradiktion. | ? |
Wenn man, wie
Ramsey
vorschlägt, das Zeichen
“ = ” so erklärt,
dass x = x,
eine Tautologie, x = y eine
Contradition ist, dann kann man
sagen, dass hier die Tautologie und die
Contradition keinen “Sinn”
haben. 11 | ? |
Wenn also die Tautologie
dadurch etwas zeigt, dass gerade
dieser Sinn diese Bedeutung ergibt, so
zeigt die Tautologie bei Ramsey nichts, denn sie ist Tautologie ex
definitione. | ? ✓ |
Ramsey
schlägt vor, den Satz, dass unendlich
viele Gegenstände eine Funktion befriedigen dadurch
auszudrücken, dass er alle Sätze
verneint von der Form: non.neg(Ex)fx (Ex)fx & non (Ex,y)fx & fy etc. Aber nehmen wir nun an, dass es nur drei Gegenstände gibt, d.h. dass nur drei Namen Bedeutung haben. Dann können wir den vierten Satz drei der Reihe gar nicht mehr hinschreiben, denn es hat dann keinen Sinn zu schreiben: non.neg(Ex,y,z,u)fx & fy & fz & fu Durch die Verneinung aller Sätze jener Reihe komme ich also nicht zum Unendlichen. | ✓ – |
Inwiefern
setzt
Ein unendlich großes Stück Papier wird natürlich nicht vorausgesetzt. Wohl aber seine Möglichkeit? | ✓ ? |
Wir können uns doch
eine Notation denken, die statt im Raum, in der Zeit
fortschreitet. Etwa die Rede. Auch hier
können wir uns doch offenbar das Unendliche dargestellt
denken und dabei machen wir doch gewisse keine
Hypothese über die Zeit. Sie
erscheint uns essentiell als unendliche
Möglichkeit. Und zwar offenbar unendlich, nachdem, was wir über ihre Struktur wissen. | ✓ |
Es ist doch
gewiss unmöglich,
dass die Mathematik von einer Hypothese
über dem physikalischen Raum
abhängen sollte. Unter
Ges Und der
Gesichtsraum ist doch in diesem Sinne nicht
unendlich. Und wenn es sich nicht um die Wirklichkeit, sondern nur um die Möglichkeit der Hypothese vom unendlichen Raum handelt, so muss doch diese Möglichkeit irgendwo vorgebildet sein. | ✓ ? |
Wir können um die Verwendung der variablen Form
nicht herumkommen. Sie wird in der von
Ramsey
vorgeschlagenen Notation zwar auf gewisse Arten von Formenreihen
eingeschränkt, aber sie
muss auch dort auftreten und
macht alle Gebilde in denen sie vorkommt zu Formenreihen.
| ✓ ? |
Ist die primäre Zeit unendlich?
D.h. ist sie eine
unednliche Möglichkeit?
Auch wenn sie nur so weit erfüllt ist, als die Erinnerung
reicht, so sagt das keineswegs, dass
sie endlich ist. Sie ist in demselben Sinne unendlich, in
dem der 12
dreidimensionale Gesichtsraum das ist, auch wenn ich tatsächlich
nur bis zu den Wänden meines Zimmers sehen kann.
Denn was ich sehe, präsuponiert die
Möglichkeit eines Sehens in
grössere Entfernung.
D.h., ich könnte, was ich sehe, korrekt
nur durch eine unendliche Forma darstellen.
Ist es möglich sich die Zeit mit einem Ende zu denken oder mit zwei Enden? | ✓ ? ✓ |
✓ – ? |
Was jetzt geschehen kann, hätte
au[v|c]h früher geschehen können und
wird immer in der Zukunft geschehen können, wenn die Zeit
bleibt, wie sie ist. Aber das hängt
nicht von einer zukünftigen Erfahrung ab. Die
Möglichkeit
Aber das alles heisst schon, dass die Zeit nicht im Sinne der primitiven Auffassung der unendlichen Menge unendlich ist. Und dasselbe gilt vom Raum. Wenn ich sage, dass ich mir einen Cylinder unendlich verlängert denken kann, so liegt das schon in seinem Wesen. Wieder im Wesen der Homogenität des Cylinders und des Raums in dem er ist, – und der eine setzt ja den andern voraus – und diese Homogenität ist in dem endlichen Stück, das ich sehe. |
✓ ? |
Eine Entfernung
kann durch eine Zahl ausgedrückt werden, aber durch jede
beliebige. Es nützt aber nichts, wenn ich etwa
eine Strecke statt mit einer bestimmten Zahl mit einem
Buchstaben n bezeichne, denn eine andere Strecke kann ich
dann doch nicht durch n bezeichnen, sondern sie ist dann
Andererseits kann ich doch statt n 1n schreiben und warum soll ich ni irgend einen Rangunterschied unter den Zahlen anerkennen. Aber das ist klar, dass es dann willkürlich ist, welche meiner Strecken ich z.B. 27n nenne. |
✓ ? – |
Man
könnte aber auch sagen: Die Einheitsstrecke
gehört zum Symbolismus. Sie gehört zur
Projektionsmethode. Ihre Länge ist willkürlich,
aber sie enthält das spezifisch räumliche
Element. Wenn ich also eine Strecke 3 nenne, so bez[ie|ei]chnet hier die 3 mit Hilfe der im Symbolismus vorausgesetzten Einheitsstrecke. Dasselbe kann man auch auf die Zeit anwenden. |
✓ – |
Kann man sagen: Wenn man im Gesichtsfeld
eine Figur, etwa ein rotes Dreieck sieht, so kann man sie
nicht dadurch beschreiben, dass man etwa eine
Hälfte des Dreiecks in einem Satz, die andere Hälfte in
einem anderen Satz beschreibt.
d.h. man kann
sagen, dass es in gewissem Sinne eine
Hälfte dieses Dreiecks gar nicht gibt.
Man kann von dem Dreieck überhaupt nur reden, wenn seine
Grenzlinien die Grenzen zweier Farben sind. |
✓ ? |
Wenn “rot ist an
diesem Ort” ein Satz
p ist und “rot ist an jenem Ort” ein Satz q, dann ist
p & q der selbe
Satz, wie “rot ist an diesem und
jenem Ort” und dieser Satz ist
offenbar von genau derselben Form und Zusammengesetztheit, wie
q oder p allein; denn zwei Orte geben
einen Ort. – Daraus würde die
unendliche Zusammengesetztheit der räumlichen Sätze
folgen. – Es gäbe keine
Elemetarsätze 17 |
Man könnte sagen,
die Farben haben zueinander eine elementare Verwandtschaft.
| ✓ |
Worin liegt der Unterschied zwischen der Zahlangabe über den
Umfang eines Begriffs und der Zahlangabe über den Umfang einer
Variablen? Die Erste ist ein Satz, die Zweite
keiner. Denn die Zahlangabe über eine Variable kann
ich aus dieser selbst ableiten. (Sie
muss sich zeigen)
Kann ich aber nicht eine Variable dadurch geben, dass ich sage, ihre Werte sollen alle Gegenstände sein, die eine bestimmte materielle Funktion befriedigen? Dann ist die Variable keine Form! Und dann hängt der Sinn eines Satzes davon ab, ob ein anderer wahr oder falsch ist. | ✓ / \ |
Die Zahlangabe über eine Variable besteht in einer
Transformation der Variablen, die die Anzahl ihrer Werte
sichbar macht. | ✓ / \ |
Denken wir uns zwei Ebenen, auf der Ebene I
seien Figuren, die wir auf die Ebene II durch irgendwelche
Projektionsmethoden abbilden wollen.
Wi[e|r] haben dann die Möglichkeit
eine Projektionsmethode (etwa die der orthogonalen Projektion)
festzulegen und dann die Bilder auf der zweiten Ebene dieser
Methode der Abbildung entsprechend zu deuten. Wir
können aber auch einen ganz andern Weg einschlagen;
Wir bestimmen etwa aus irgendwelchen Gründen,
dass die Bilder in der zweiten Ebene
sämtlich Kreise sein sollen, was immer die Figuren
der in der ersten Ebene sein
mögen. D.h. verschiedene
Figuren der ersten Ebene werden durch verschiedene Projektionsmethoden
in die zweite Ebene abgebildet. U[nd|m]
dann die Kreise in II als Bilder zu verstehen, werde ich zu
jedem Kreis sagen müssen, welche Projektionsmethode zu ihm
gehört. Die blosse Tatsache
aber, dass sich eine Figur in II als
Kreis darstellt, wird noch gar nichts sagen. – So
geht es mit der Wirklichkeit, wenn wir sie in
Subjekt-Prädikatsätze
abbilden. Dass wir
SubjektäPrädikatsätze
gebrauchen, ist nur eine Angelegenheit unserer
Zeichengebung. Die
SubjektäPrädikatform ist an sich
noch keine logische Form und sie ist Ausdrucksmittel
unzähliger grundverschiedener logischer Formen, wie die Kreise
auf der Ebene II. Sätze: “Der Teller ist rund”, “der Mann ist
gross”,
“der Fleck ist rot” haben in ihrer Form nichts gemeinsames. | ✓ / \ |
Eine Schwierigkeit der
Frege'schen
Theorie ist die Allgemeinheit der Worte “Begriff” und
“Gegenstand”. Denn da man Tische und Töne und
Schwingungen und Gedanken zählen kann, so ist es schwer,
sie alle unter einen Hut zu bringen.
Begriff und Gegenstand, das ist aber Prädikat und Subjekt. Und wir haben gerade gesagt, dass Subjekt-Prädikat nicht eine logische Form ist.1 | ✓ / \ |
Es ist
nämlich klar, dass, wenn man einmal mit
der Arithmetik angefangen hat, man sich nicht mehr um Funktionen
und Gegenstände kümmert. Ja auch wenn man sich
entschlossen hat, nur mit Extentionen zu
arbeiten, bleibt noch das Sonderbare, dass
man auch auf die Form von Gegenständen keinerlei Rücksicht
nimmt. | ✓ / \ |
Wenn wir zur
Begründung der Arithmetik nur extensive Funtionen
wie (abc)x beziehungsweise
(ab, cd, ef)xy verwenden,
dann wäre eine solche Funktion ein Prüfstein mit dem man
Sätze auf ihre Brauchbarkeit prüfen würde, indem man
in sie eine kunstuierte
Funtion statt einer wirklichen einsetzt und sieht, ob
eine Tautologie oder eine Kontradiktion herauskommt. | ✓ ? |
Welche Beziehung besteht denn zwischen dem Zeichen
“ = Def” und jenem
Gleich- 18 heitszeichen,
welches durch Tautologie und
Kontradikti[l|o]n erklärt wird?
Ist für dieses Gleichheitszeichen “p & q = non[)|(]non.negp V nonq)” eine Tautologie? Man könnte sagen: “p & q = p & q” ist Taut und da man das eine Zeichen “p & q” hier der Definition entsprechend durch “non.neg(non.negp & nonq)” ersetzen darf, so ist auch der obere Ausdruck Taut. | ✓ ? ✓ |
Man dürfte also die Erklärung des
Gleichheitszeichens nicht so schreiben: x = x ist Taut. x = y ist Kont. sondern man müsste sagen: Wenn, und nur wenn, “x” und “y” den Zeichenregeln zufolge also etwa der Regel x = y = Def zufolge die gleiche Bedeutung haben, dann ist “x = y” Taut.; wenn “x” und “y” den Zeichenregeln zufolge nicht dieselbe Bedeutung haben, dann ist “x[“| = ]y” Kont.. Es wäre dann zweckmässig, das so erklärte Gleichheitszeichen anders zu schreiben zum Unterschied von “x = y” welches eine Zeichenregel darstellt und besagt, dass wir x durch y ersetzen dürfen. Das nämlich kann ich aus dem oben erklärten Zeichen nicht ersehen, sondern nur daraus dass es eine Tautologie ist, aber auch das weiss ich ja erst, wenn ich schon die Ersetzungsregeln kenne. | ✓ / \ |
(Ex)fx =
(E1)xf(x) Def
(Ex,y)fx & fy = ◇ (E1 + 1)xf(x) Def usw. Ferner: (En)xf(x) & non (En + 1)xf(x) = (n)xf(x) Def. Dann kann man z.B. schreiben: (3)xFx & (4)xGx & non (Ex)Fx & Gx .C. (3 + 4)x.Fx . V . Gx Dies[w|e]r Ausdruck ist nicht dasselbe wie die Ersetzungsregel 3 + 4 = 7. | ✓ ? |
Man
könnte auch s[i|o] fragen: Angenommen, ich
habe 4 Gegenstände die eine Funktion befriedigen, hat es in
jedem Fall einen Sinn, zu sagen, diese 4 Gegenstände seien
2 + 2
Gegenstände? Ich weiss ja
nicht, ob es Funktionen gibt, die 2 und 2 von ihnen unter
einen (je einen) Hut bringen. Hat
es einen Sinn von irgend 4 Gegenständen zu sagen, sie
bestünden aus 2 Gegenständen und 2
Gegenständen? Die Schreibweise, die ich oben verwendete “(3 + 4)x etc.” enthält bereits die Annahme, dass es einen Sinn hat, 7 immer als 3 + 4 aufzufassen, denn auf der rechten Seite vom “.C.[)|”] habe ich sozusagen schon vergessen, woher diese 3 und 4 rühren. Andererseits: Im Zeichen 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 kann ich doch auf jeden Fall 3 und 4 unterscheiden. Liegt hier vielleicht die Auflösung? Wie wäre es, wenn ich ein Zeichen für die 7 hätte, worin ich 3 und 4 nicht absondern könnte? Ist ein solches Zeichen denkbar? | ✓ / \ |
Hat es einen Sinn zu sagen, dass eine
Relation 2 Gegenstände miteinander verbindet, auch wenn
diese im Uebrigen unter keinen Begriff
fallen? Aber ja: Denn man kann die Klasse
aller x bilden
x̂(xRb . V .
aRx). Aber nein: Denn diese
Klasse brauchte nicht nur 2 Glieder zu haben. Und ich
meine auch nicht den Fall, wenn R nur a und b
verbindet und kein anderes Paar; ich will nur sagen,
dass in jedem
Komplex|xRy R
[2|z]wei
Gegenstände verbindet (oder wie man sagt,
dass R eine zweistellige Relation
ist.) 19 | ✓ / \ |
Wie ist es mit dem Satz
“(Ex,y,z).aRx &
xRy & yRz & zRb . V . aRy & yRx
& xRz & zRb. V .
etc.” (Es
folgen alle Combinationen)? Kann
ich ihn nicht verständlich in der Form
schreiben[?|:] “(E3)x.aRxRb”
etwa “zwischen a und b
sind 3 G[r|l]ieder eingeschaltet”. Hier haben wir den Begriff gebildet “Glied zwischen a und
b”. | ✓ |
| “x ist ein
Glied zwischen a und b” würde so
geschrieben: “aRx & xRb . V . (Ex).aRx & xR |
Was für ein Satz wäre das:
“Es gibt eine Farbe,
sodass ein Ort im Gesichtsraum sie
hat”?
Angenommen, es gäbe nur 4 Farben, ist es nun denkbar, dass ein Ort keine Farbe hat? Wenn es Sätze gibt, die dem Ort O Farben A, B, C, D zuschreiben, dann muss es natürlich einen sinnvollen Satz geben: non.negOA & nonOB & nonOC & nonOD und auch dieser Satz muss, wenn er wahr ist, einer sichtbaren Sachlage beschreiben. Wenn es also wahr ist, dass jeder Ort in einem gewissen Sinne eine Farbe haben muss, dann muss eine dieser “Farben” die Abwesenheit der andern sein. Wäre das etwa Schwarz? | ✓ ? |
Welche Auffassung
immer man von der Zahl ha[r|t], so kann man Sätze
“(En) …” nur dann
als die Zahl definierend auffassen, wenn n beliebig
gross sein kann. | ✓ ? |
Das Problem ist: Wie kann man Vorbereitungen zum
Empfang von etwas eventuell Existierendem
treffen? | ✓ / \ |
Das
Axiom of infinity ist schon darum ein Unsinn, weil die
Möglichkeit, es auszusprechen, unendlich viele Dinge
– also, was es behaupten will – voraussetzt.
Von den logischen Begriffen, z.B. von der
Unendlichkeit, kann man sagen, dass ihre
Essenz ihre Existenz beweist. Das Axiom muss eben schon die Unendlichkeit, wenn auch auf dem Wege über Definitionen aufzeigen. | ✓ / \ |
Angenommen ich glaubte, es gäbe nur eine überhaupt nur eine Funktion und die werde von 4
Gegenständen befriedigt. Später komme
ich darauf, dass sie noch von einem
5. Ding befriedigt wird; ist jetzt das Zeichen “4” sinnlos
geworden? Ich Ja wenn es im Kalkül die 4 nicht gibt dann ist sie sinnlos. | ✓ / \ |
Ich will
sagen, die Zahlen können nur definiert werden aus
Satzformen unabhängig davon, welche Sätze
wahr oder falsch sind. | ✓ / \ |
(E1)xFx &
(E1)xGx &
(x).non (Fx & Gx)
.C. (E2)x.Fx
. V .Gx Wenn hier F und G die Formen x = a . V . x = b, etc. sind, dann ist der ganze Satz eine Vorrichtung geworden, die dafür sorgt, dass richtig addiert wird. | ✓ ? |
Im
Symbolismus wird tatsächlich zugeordnet, während in der
Bedeutung nur von der Möglichkeit der Zuordnung die Rede
ist. (Man könnte also die
Scheinfuntionen ⌊⌊ (∃1x) φx ∙ (∃1x) ψx ∙ Ind . ⊃ . (∃1 + 1x:) φx ⌵ ψx. (∃1 + 1x) ״ (∃1:x) … (∃(1 + 1) + 1x) … (1 + 1) + 1 = 1 + 1 + 1 Ist „(En)4 + n = 7–α” eine Disjunktion? Nein, denn eine Disjunktion hätte nicht das Zeichen „u.s.w. ad inf” am Ende sondern ein Glied der Form 4 + x. Weder ist En α von der Art des Satzes „Es gibt Menschen in diesem Haus” noch des Satzes „Es gibt eine Farbe die sich mit dieser gut mischt” noch „Es gibt Aufgaben die mir zu schwer sind noch „Es gibt eine Tageszeit in der ich gern spazieren gehe”. ⌋⌋ 20 x = a, x = a . V .
x = b, etc., arithmetische Funktionen
nennen. Sie nämlich enthalten das Arithmetische der
Sätze. Sie enthalten die Zahlen. | / \ ✓ |
| ⌊⌊ (∃1x) φx. (∃1x) ψx. Ind
. ⊃ . (∃1 + 1x) φx ⌵ ψx. (∃1 + 1x) ״ (∃1x) … (∃(1 + 1) + 1x) … (1 + 1) + 1 = 1 + 1 + 1 ⌋⌋ |
| ⌊⌊ Ist „(Еn)4 + n =
7–α” eine Disjunktion? Nein, denn eine Disjunktion
hätte nicht das Zeichen „u.s.w. ad inf” am
Ende sondern ein Glied der Form 4 + x. ⌋⌋ |
| ⌊⌊ Weder ist
Еn α von
der Art des Satzes „Es gibt
Menschen in diesem Haus” noch des
Satzes „Es gibt eine Farbe die
sich mit dieser gut mischt”
noch „Es gibt Aufgaben die mir
zu schwer sind noch
„Es gibt eine Tageszeit in der
ich gern spazieren gehe”. ⌋⌋ |
2 + 1
ist doch einfach eine Regel, wie man aus zwei uns bereits bekannten
Zeichen ein drittes bildet. “(E3 + 4)x
…”
heisst: Bilde ein Zeichen, indem
du etc. … Es wäre also etwa so: Ich kenne “3” und “4” von den Zeichen “(E3) …” und “(E4) …” her und diese Kenntnis verwende ich nun bei der Bildung des Zeichens “(E3 + 4) …”. Daraus würde übrigens schon hervorgehen, dass man “3” bezw. “4” nicht durch die Zeichen “(E3) …”, “(E4) …” definieren darf, weil ja das Zeichen “(E3) …” im Zeichen “(E3 + 4) …” nicht vorkommt. | ✓ – ∫ |
Die Gleichungen der
Mathematik kann man, so scheint es mir, nur mit sinnvollen
Sätzen vergleichen, nicht mit Tautologien. Denn die
Gleichung enthält eben dieses aussagende Element – das
Gleichheitszeichen – das nicht dazu bestimmt ist, etwas zu
zeigen. Denn was sich zeigt, das zeigt sich ohne das
Gleichheitszeichen. Das Gleichheitszeichen entspricht
nicht dem “.C.” in “p & (pCq)
.C. q”, denn das
“.C.” ist nur ein Bestandteil unter anderen,
die zur Bildung der Tautologie gehören. Es
fällt nicht aus dem Zusammenhang heraus, sondern gehört zum
Satz, wie das “ & ” oder “C”. Das “ = ” aber ist eine Copula, die allein die
Gleicheitung zu etwas Satzartigem macht.
Die Tautologie zeigt etwas, die Gleichung zeigt nichts, sondern
weist darauf hin, dass ihre Glieder etwas
zeigen. | ✓ – |
Was bedeutet ein mathematischer Satz von der Art “(En).
4 + n =
7”? Es
wäre eine Disjunktion:
4 + 0 = 7 . V .
4 + 1 = 7 . V .
etc. ad inf.. Was aber bedeutet das. Ich
kann einen Satz verstehen, der einen Anfang und ein Ende
hat. Kann man aber auch einen Satz verstehen, der kein
Ende hat? Ich verstehe auch, dass man eine unendnliche Regel angeben kann, nach der unendlich viele endliche Sätze gebildet werden können. Was aber bedeutet ein endloser Satz? | ✓ / \ |
Wenn der
Satz durch kein endliches Produkt wahr gemacht wird, so
heisst das: Er wird durch
kein Produkt wahr gemacht. Und darum
ist er kein logisches Produkt. | ✓ / \ |
Dass auf dieser
weissen Fläche kein schwarzer Punkt ist,
das sehe ich daran, dass sie ganz
weiss ist. Aber
heisst das, dass
alle Punkte weiss
sind? | ✓ / \ |
21
dass wir hier annehmen etwas bewiesen zu
haben, was beim Beweise nicht herauskommt!
(Wenigstens nicht, wenn wir nicht einen unerlaubten
Uebergang machen.) | ✓ ? |
Wie ist der Satz zu erklären: “Der rote Kreis liegt zwischen den beiden
lotrechten Strichen”?
Er scheint von der Forma (En)Fn zu
sein. Und
n kann
unendlich viele Werte haben. | ✓ – |
Den mathematischen Satz kann man sich vorstellen als
ein Lebewesen, das selbst weiss, ob es wahr
oder falsch ist. (Zum Unterschied von den eigentlichen
Sätzen.) Der mathematische Satz weiss selbst, dass er wahr oder dass er falsch ist. Wenn er von allen Zahlen handelt, so muss er auch schon alle Zahlen übersehen. Wie der Sinn, so muss auch seine Wahrheit oder Falschheit in ihm liegen. | ✓ / \ |
Es ist, als wäre die Allgemeinheit eines Satzes wie “(n)nonChr
n” nur eine Anweisung
auf die eigentliche, wirkliche, mathematische Allgemeinheit eines
Satzes. Gleichsam nur eine Beschreibung der
Allgemeinheit, nicht diese [S|s]elbst. Als
bilde der Satz nur auf rein
äusserliche Weise ein Zeichen, dem man
erst von innen Sinn geben muss.
| ✓ / \ |
Wir fühlen; Die Allgemeinheit, die die mathematische
Behauptung hat, ist anders, als die Allgemeinheit des Satzes der
bewiesen ist. | ✓ / \ |
In welchem Verhältnis steht ein Problem der Mathematik zu
seiner Beantwortung? | ✓ / \ |
Man könnte sagen: Ein mathematischer Satz ist der
Hinweis auf einen Beweis. | ✓ / \ |
Eine Allgemeinheit kann nicht zugleich empirisch und beweisbar
sein. | ✓ / \ |
Wenn ein Satz
einen bestimmten Sinn haben soll (und sonst ist er
[i|u]nsinnig) so muss er
seinen Sinn ganz erfassen – ganz
übersehen[ö|;] die Allgemeinheit hat nur dann
einen Sinn, wenn sie – d.h. alle Werte der
Variablen – völlig bestimmt ist. | ✓ ? |
Wenn ich auf einer
endl[os|ich]en
Strecke nur durch Probieren weiterkomme, warum soll es bei einer
unendlichen anders sein? Und dann kann ich natürlich
nie ans Ziel kommen. Aber wenn ich auf der unendlichen Strecke nur schrittweise weitergehe, so kann ich die unendliche Strecke ja überhaupt nicht erfassen. Ich erfasse sie also a[i|u]f andere Weise; und wenn ich sie erfasst habe, so kann der Satz über sie nur so verifiziert werden, wie er sie aufgefasst hat. | ✓ – |
Er kann
jetzt also nicht durch ein endlos gedachtes Schreiten verifiziert
werden, denn auch ein solches würde nicht zu einem Ziele
gelangen, da ja der Satz ⌊⌊ Man nimmt hier den Sinn eines Satzes „alle Zahlen haben die Eigenschaft ε” als gegeben an, statt zu sehen daß er uns nur auf Grund einer vaguen Vorstellung gegeben zu sein scheint & wir erst nach seinem Kalkül fragen müßten um ihn zu verstehen! ⌋⌋ 22 ebenso endlos wieder
über unseren Schritt hinausschreiten kann. Sondern nur
[,|m]it einem Schritt, wie auch die
Gesamtheit der Zahlen nur mit einem Schlage
gefasst werden konnte. | ✓ – |
| ⌊⌊ Man nimmt hier den Sinn eines
Satzes „alle Zahlen haben die
Eigenschaft ε” als gegeben an,
statt zu sehen daß er uns nur auf Grund einer vagen Vorstellung
gegeben zu sein scheint & wir erst nach seinem
Kalkül fragen müßten um ihn zu verstehen! ⌋⌋ |
Man kann
auch sagen: Es gibt keinen Weg zur Unendlichkeit,
auch nicht den endlosen. | ✓ / \ |
Es wäre etwa so: Wir haben eine unendlich
lange Baumreihe und ich mache, um sie zu inspizieren ihr entlang
einen Weg. Sehr gut, so muss dieser
Weg endlos sein. Aber wenn er endlos ist, so
heisst das eben, dass
man ihn nicht zu Ende gehen kann.
D.h. er bringt mich nicht dazu,
die Reihe zu übersehen.
(Eingestandenermaßen
nicht) Der endlose Weg hat nämlich nicht ein “unendlich fernes” Ende, sondern kein Ende. | ✓ / \ |
Es ist
nicht etwa nur “für uns
Menschen” unmöglich, alle Zahlen
successive zu erfassen, sondern es ist
unmöglich, es heisst nichts.
| ✓ / \ |
Man kann
auch nicht sagen: “Der
Satz kann alle Zahlen nicht successive
erfassen, so muss er sie durch den Begriff
fassen.”, als ob das faute de
mieux so wäre: “Weil er es so nicht kann,
muss er es auf die andere Art
tun”. Aber so ist es
nicht: Ein successives Erfassen
ist schon möglich, nur führt es eben nicht
zur Gesamtheit. Die Gesamtheit aber ist nur als Begriff
vorhanden. | ✓ / \ |
Besteht die Möglichkeit,
dass jede Zahl aus einem individuellen Grunde
achromatistisch ist?
D.h. also, kann man das überhaupt sagen,
hat dieser Satz einen Sinn? | ? |
Eine Reihe ist nur eine Illustration zu einem Gesetz. | / \ ? |
Es ist
übrigens merkwürdig und wirft ein Licht auf die richtige
Analyse der Sätze von den Farben, dass
einerseits nur eine Fläche färbig sein kann, andererseits
die Farbe kontinuierlich sich ändern kann.
Die “Farbe in einem Punkt” ist dann nur ein Grenzwert. | ? |
Man kann auch sagen: Jede Zahl hat eine individuelle Wesenheit und daher individuelle Eigenschaften. Aber die Eigenschaften einer Zahl sind mit ihren internen Eigenschaften erschöpft. Eine Zahl ist nichts mehr als die soundsovielte Zahl; eine andere Eigenschaft hat sie nicht. Also ist mit dem Begriff, eine Zahl, d.h. eine “soundsovielte Zahl” zu sein, alles erschöpft, was alle Zahlen miteinander gemein haben können. Wenn jede Zahl aus einem individuellen Grunde achromatisch ist, so ist das ein genereller Grund, denn jede Zahl ist mir ja nicht anders gegeben, als durch den Begriff (das Wesen) der Zahl. Wenn “die soundsovielte Zahl zu sein” eine begriffsbildende Eigenschaft unter anderem wäre, die dieselbe Klasse bestimmen, dann könnten alle Zahlen eine gemeinsame Eigenschaft zufllig haben, oder nicht haben. Das Wesen eines Hauses ist z.B. nicht damit erschöpft, dass es das soundvielte in einer Häuserreihe ist; und daher lassen sich auch an jedem Haus der Reihe ⌊⌊ Welche seltsame Frage: „Kann man sich eine endlose Baumreihe denken?”! Wenn man von einer endlosen Baumreihe spricht so wird doch, was man meint, ˇetwas mit den Erfahrungen zu tun haben die man „das [s|S]ehen einer Baumreihe”, „das Zählen einer Baumreihe”, etc nennt. „Können wir uns … denken”! Gewiß, wenn wir festgesetzt haben was darunter zu verstehen ist; d.h., wenn wir diesen Begriff mit all dem in Verbindung gebracht haben, was mit den Erfahrungen die eine Baumreihe bestimmen. ⌋⌋ 23 Entdeckungen machen, die
mit der Stellung des Hauses in der Reihe nichts zu tun haben,
d.h. nicht durch sie bestimmt sind.
| ✓ – |
| ⌊⌊ Welche seltsame
Frage: „Kann man sich
eine endlose Baumreihe denken?”! Wenn man von einer endlosen Baumreihe spricht so wird doch, was man meint, etwas mit den Erfahrungen zu tun haben die man „das Sehen einer Baumreihe”, „das Zählen einer Baumreihe”, etc. nennt. „Können wir uns … denken”! Gewiß, wenn wir festgesetzt haben was darunter zu verstehen ist; d.h., wenn wir diesen Begriff mit all dem in Verbindung gebracht haben, mit den Erfahrungen die eine Baumreihe bestimmen. ⌋⌋ |
Sind aber
alle Eigenschaften des Hauses völlig durch seine
Stellung bestimmt, so ist etwas, was für alle Stellungen
gil[g|t], im Begriff der Stellung enthalten. | ✓ – |
Woher bezieht das Axiom
mult. ax.
seine Wahrscheinlichkeit? Doch daher,
dass man im Falle einer endlichen Klasse
von Klassen eine Selektion tatsächlich herstellen kann.
Wie ist es aber bei unendlich vielen Teilklassen?
Es ist offenbar, dass ich hier nur das
Gesetz der Bildung einer Selektion kennen kann.
Aus einer endlichen Klasse von Klassen kann ich nun etwas wie eine willkürliche Selektion bilden. Ist das bei einer unendlichen Klasse von Klassen denkbar? Es scheint mir unsinnig zu sein. | ✓ – |
Denken wir uns ein endloses Leben, und der es lebt, wählt nach
einander aus den Brüchen zwischen 1 und 2, 2 und 3,
usw. ad inf.
einen beliebigen Bruch aus. Erhalten wir so eine
Selektion aus allen jenen Intervallen? Nein, denn er wird
nicht fertig. Kann ich aber nicht
sagen, dass doch alle jene Intervalle
darankommen müssen, weil ich keines nennen kann, das er nicht
einmal erreichen würde? Aber daraus,
dass er jedes
Interval einmal erreichen wird, folgt nicht,
dass er alle einmal
erreicht haben wird. | ✓ / \ |
Aber
haben wir nun nicht doch die Beschreibung eines Vorganges durch den
ohne Ende Selektionen erzeugt werden und
heisst das nicht eben,
dass eine unendliche Selektion gebildet
wird? Aber hier ist eben das Unendliche nur in der
Vorschrift enthalten. | ✓ ? – |
Es hat offenbar
einen Sinn zu sagen, dass ein Mensch der
endlos lebte, mit einem Würfel II (im Sechsersystem) würfeln
könnte. Das unendliche Ereignis ist da durch ein
Gesetz gegeben. Kann ich das aber nicht so modifizieren, dass er nun zwar endlos würfelt, aber nicht II würfelt[.|?] | ✓ |
Und zu dem ersten Satz muss
man sagen: II
würfeln heisst nur,
dass jeder Wurf mit dem Gesetz von
II
übereinstimmt, denn II ist ja kein Dezimalbruch
sondern nur das Gesetz nach dem unendlich viele
Dezimal[v|b]rüche gebildet werden können.
| ✓ / \ |
Inwiefern ist die endlose Zeit eine Möglichkeit
und keine Realität? Denn man könnte gegen
mich einwenden, dass doch die Zeit ebenso eine
Realität sein muss, wie etwa die
Farbe. | ✓ ? |
Aber ist nicht die
Farbe allein auch nur eine Möglichkeit, solange sie nicht zu
einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort
besteht? Die leere unendliche Zeit ist nur
die Möglichkeit von Tatsachen, die erst die Realitäten
sind. Aber ist nicht die unendliche Vergangenheit erfüllt zu denken, und gibt das nicht eine unendliche Realität? Und wenn es eine unendliche Realität gibt, dann gibt es auch den Zzfall im Unend- 24 lichen. Also
z.B. auch die unendliche Dezimalzahl, die durch
kein Gesetz gegeben ist Damit steht und
fällt alles in der
Ramsey'schen Auffassung.. | ✓ ? |
Dass wir die Zeit nicht als unendliche
Realität sondern intentional unendlich
au auffassen, zeigt sich so, indem wir uns
einerseits einen unendlichen Zeitraum nicht denken können,
aber doch sehen, dass kein Tag der letzte sein
kann, die Zeit also kein Ende haben kann. | ✓ / \ |
Man könnte auch sagen: Die Unendlichkeit liegt in
der Natur der Zeit, sie ist ni nicht ihre
zufällige Ausdehnung. | ✓ / \ |
Wir
kennen ja die Zeit nur – gleichsam – von dem Stück Zeit
her, was vor unsern Augen liegt. Es wäre sonderbar,
wenn wir so ihre unendliche Ausdehnung erfassen könnten
(in dem Sinn nämlich, wie wir sie erfassen würden, wenn
wir selbst unendlich lang ihr Zeitgenosse wären).
| ✓ / \ |
Es geht
uns mit der Zeit tatsächlich wie mit dem Raum. Die
erfüllte Zeit, die wir kennen, ist begrenzt
(endlich). Die Unendlichkeit ist eine innere
Qualität der Zeitform. | ✓ / \ |
Es erscheint mir etwa so: Wenn man
Stücke keilförmige Stücke seitlich
aneinanderreiht, so kann man nur eine endliche Anzahl
[M|m]al damit fortfahren, weil man zu einem Ende
kommt. Dagegen kann man rechteckige Stücke unbegrenzt
aneinanderreihen. Und das liegt in beiden Fällen an
der Form des einzelnen Stückes selbst. | ✓ / \ |
Was ist
eine regellose unendliche Dezimalzahl? Kann man
eine unendliche Ziffernfolge statt durch ein Gesetz auch durch
eine [N|n]ichtmathematische – also
äussere – Beschreibung
geben? (Sehr seltsam, dass es
eine doppelte Art des Erfassens geben soll). | ✓ / \ |
“Die Zahl die herauskommt, wenn der Mann endlos
würfelt” scheint unsinnig zu
sein weil keine unendliche Zahl herauskommt. | ✓ / \ |
Warum ist aber ein endloses Leben eher denkbar als
eine endlose räumliche Reihe?
Irgendwie darum, weil wir das endlose Leben eben nie als
abgeschlossen empfinden, während die unendliche
räumliche Reihe als Ganzes schon vorhanden sein
müsste. | ✓ ? |
Stellen wir uns einen Mann vor, der seit
u[h|n]endlicher Zeit lebt und der uns sagt:
“Jetzt schreibe ich die letzte
Ziffer von II
hin, nämlich die 3”. Er hat an jedem Tag seines Lebens eine
Ziffer hingeschrieben und hat niemals damit angefangen; jetzt ist er
fertig geworden. Das scheint völliger Unsinn und eine ad absurdum-Führung des Be[h|g]riffs einer unendlichen Totalität. 25 | ✓ / \ |
Denken wir uns eine
unendliche Baumreihe, alle verschieden hoch zwischen 3 und
4 m. Wenn ein Gesetz gegeben ist, nach welchem die
Höhe wechselt, so ist die Reihe durch das Gesetz bestimmt und
vorstellbar (ich nehme an, die Bäume unterschieden sich
durch nichts als ihre Höhe.). Wie aber, wenn
die Höhen regellos wechseln, dann –
muss man sagen – gibt es nur eine
unendlich lange, eine endlose Beschreibung. Aber das ist
doch keine Beschreibung! Ich kann mir denken,
dass es unendlich viele Beschreibungen
der unendliche en vielen endlichen
Strecken der unendlichen Baumreihe gibt, aber dann
muss ich diese unendlich vielen Beschreibungen
durch ein Gesetz kennen, dem sie der Reihe nach
gehorchen. Oder wenn es kein solches Gesetz gibt,
brauche ich wieder eine unendliche Beschreibung dieser
Beschreibungen. Und das würde mich wieder zu nichts
führen. | ✓ – |
Nun könnte
ich ja sagen: Es ist mir das Gesetz bekannt,
dass jeder Baum eine andere Höhe haben
muss, als alle vorhergehenden. Das
ist allerdings ein Gesetz, aber es bestimmt die Reihe noch
nicht. Wenn ich nun annehme, dass
es eine regellose Reihe geben kann, so ist das eine Reihe über
die mir ihrem Wesen nach nichts anderes bekannt sein kann, als
dass ich sie nicht kennen kann.
Oder besser, dass sie nicht gekannt
werden kann. S Denn ist es etwa
ein Fall, wo “der menschliche
Intellekt nicht ausreicht”?, aber ein
höherer es leisten könnte”? Und wie kommt der menschliche Verstand
dann überhaupt zu jener Frage, in jene Gasse, die er nicht zu
Ende gehen kan kann?
An der Endlosigkeit ist eben nur die Endlosigkeit unendlich. | ✓ ? |
Denken wir uns, wir würfelten mit einem zweiseitigen
Würfel, also etwa mit einer Münze.
Ich will nun durch fortgesetztes würfeln
einen Punkt der Strecke AB bestimmen, indem ich immer
diejenige Halbierung vornehme, die der Wurf vorschreibt; wenn etwa
Kopf bedeutet, dass ich das rechte,
Adler, dass ich das linke Stück
halbieren soll. | ✓ / \ |
Beschreibt es nun die Lage eines Punktes der Strecke, wenn ich sage
“es ist der, dem
sich bei endlosem Würfeln die Halbierung unbegrenzt
nähert”? | ✓ / \ |
Wenn wir den Begriff “Satz” bilden,
wovon wollen wir die Sätze untersceiden?
Ist es nicht so, dass wir den Satz nur äusserlich allgemein beschreiben können? Ebenso, wenn wir Fragen: Gibt es eine allgemeine Form des Gesetzes? Im Gegensatz, wozu? Die Gesetze müssen ja den ganzen logischen Raum füllen, ich kann sie also nicht mehr begrenzen. | ✓ / \ |
Die allgemeine Satzform ist auch Eines jener Mittel
der Philosophie, das abgetan ist, sobald sie ihre Demonstrationen
daran geendigt hat. | ✓ ? |
Wie ist es mit
einer Dezimalzahl, die an allen Primstellen die Ziffer 1 hat und im
übrigen 0? Wenn es ein Gesetz gibt, das den
Verlauf der Primzahlen beschreibt, ist alles gut.
Muss es ein solches Gesetz geben?
Kann es nicht sehr wohl auch so sein
dass der Grund, warum eine Primzahl hier und
nicht wo anders steht, alle ihr vorhergehenden Anzahlen
voraussetzt? So würde dieser Grund also immer
komplzierter, wenn 26 wir in der Reihe fortschreiten und
diese Komplikation würde mit den Primzahlen unendlich
wachsen. | ✓ ? |
Ist es das, was
damit gemeint wäre, dass ein Gesetz
vorhanden sein kann, aber ein unendlich kompliziertes?
Aber das ist doch gar kein Gesetz, denn es hat ja kein Ende, ist
also kein Ganzes. Es könnte nur ein Gesetz geben,
nachdem jene ersten Gesetze
wachsen. | ✓ ? |
Kann man sagen: Dass
6 ‒ 4 gerade
2 ist, konnte man nicht voraussehen, sondern man kann es nur sehen,
wenn man dahinkommt. Wie kann ich erfahren, was
19 × 17
ist, als indem ich es ausrechne? | ✓ / \ |
Das Problem ist gerade, dass
die Primzahlen doch alle sozusagen vorausbestimmt sein
müssen[.|,]
(D.h. wir rechnen
sie nur successive aus aber sie sind alle schon
bestimmt, (“Gott kennt sie
alle”) und doch die Möglichkeit
zu sein scheint, dass sie nicht durch ein
Gesetz vorausbestimmbar sind. | ✓ / \ |
Soviel ist allerdings klar, dass es nicht
die Dualität: Gesetz und unendliche Reihe die ihm folgt,
gibt[,|;] [D|d].h.
nicht etwas in der Logik wie Beschreibung und
Wirklichkeit. | ✓ – |
Die Verteilung der Primzahlen wäre dann einmal etwas in der
Logik, was ein Gott wissen könnte und wir nicht.
D.h. es gäbe etwas in der Logik, was wir
nicht wissen könnten, was aber gewusst
werden kann. | ✓ / \ |
Hat es einen Sinn zu sagen: “Ich habe so viele Schuhe als eine Wurzel
der Gleichung x3 + 2x ‒ 3
= 0 beträgt”? Selbst dann, wenn die Lösung eine
possitive ganze Zahl e ergeben
sollte? Nach meiner Auffassung hätten wir hier nämlich eine Notation, der man es nicht unmittelbar ansehen kann, ob sie unsinnig ist oder nicht. | ✓ / \ |
Wenn man den Ausdruck “die Wurzel
der Gleichung Fx =
0” im
Russel'schen Sinne als eine Beschreibung ansieht, dann
müsste ein Satz, der von der Wurzel der
Gleichung x + 2 =
6 handelt, einen andern Sinn haben, als einer, der das
Gleiche von 4 aussagt. | ✓ ∫ |
Ich kann einen Satz nicht
gebrauchen, ehe ich weiss ob er Sinn hat, ob
er ein Satz ist. Und das weiss
ich im obigen Falle einer ungelösten Gleichung nicht, denn
ic ich weiss nicht,
ob den Wurzeln Cardinalzahlen in der
festgesetzten Weise entsprechen
Dass der Satz im gegebenen Fall unsinnig
ist und nicht falsch wird (auch keine
[C|K]ontradiktion) ist klar, denn “ich habe n Schuhe und
n² =
2”
heisst offenbar dasselbe wie “ich habe √2 Schuhe”. | ✓ s |
Aber das
kann ich doch – oder es lässt sich
doch – feststellen, wenn man nur die Zeichen ansieht.
Aber auf gut Glück darf ich die Gleichung nicht in den Satz
nehmen, sondern nur, wenn ich weiss,
dass sie eine
Cardinalzahl bestimm[r|t], denn
dann ist sie einfa[v|c]h eine andere Schreibweise
für die Cardinalzahl. Sonst aber
ist es eben so, wie wenn ich auf gut Glück Zeichen
durcheinander würfelte und es dem Zufall überlasse,
ob sie einen Sinn ergeben oder nicht. 27 | ✓ / \ |
Gleichungen sind eine Art von Zahlen. | ✓ / \ |
Die gewöhnliche Auffassung ist etwa die,
dass zwar die reellen Zahlen eine
andere Mannigfaltigkeit haben als die rationalen, man aber
beide Reihen zuerst nebeneinander hinschreiben kann und die der
reellen Zahlen die andere irgendwo hinter sich
lässt und unendlich
wiet weiterläuft. | / \ |
Meine
Auffassung aber ist: Man kann überhaupt nur endliche
Reihen nebeneinander legen und miteinander so vergleichen; nach
diesen endlichen Stücken Punkte zu setzen (als Zeichen
dass die Reihe ins Unendliche
fortläuft) hat keinen Sinn. Ferner kann man
ein Gesetz mit einem Gesetz vergleichen, aber nicht ein Gesetz mit
keinem Gesetz. | ✓ / \ |
Was soll es aber dann heissen, zu sagen,
dass sich jede Menge wohl ordnen
lässt? | ✓ ? – |
“Das was mich interessiert ist eben nicht das
Gesetz, sondern seine Unendlichkeit Nicht
seine endlichen Resultate, sondern ihr unendlich ferner Grenzwert auf
den sie deuten”. (Hier
hätten wir das “Eigentlich
Unendliche”. Aber gerade das
Gesetz muss ja auf diesen Grenzwert
deuten! Aber doch scheint das meiner Auffassung zu
widersprechen dass das Gesetz die
irrationale Zahl ist. Es ist freilich wahr,
dass eine unendliche Operation kein
schliessliches Resultat hervorbringen kann,
aber wie ist es mit einem Grenzwert, dem sich
die Resultate unbegrenzt nähern. In gewissem
Sinn ist muss
freilich das Gesetz mit dem Grenzwert äquivalent sein, aber nicht
in jedem. | ✓ ? |
Nur das Endlose ist
dehnbar (vergleiche damit die “unbestimmte Zahl”
[e|E]inige)
| ✓ ? |
Ich kann jetzt den Intuitionismus besser verstehen:
Jede Zahl hat ihre individuellen Eigenschaften.
Nun sind diese freilich durch die Stellung in der Reihe der
Operation 1 + 1
etc. bestimmt, aber jede solche Stellung ist doch eine
individuelle Stellung; und zwar hat sie dieselbe
Individualität, wie die Zahl selbst, die an ihr steht.
Wir kommen also aus den unendlich vielen Individualitäten
nicht heraus. | – |
Und warum sollte auch die
Reihe (1, ‒ ,
‒ + 1) fundamentaler
sein als (2, ‒ ,
‒ + 2)?
Das Fundamentale ist in beiden nicht die besondere Operation
sondern der Begriff der Reihe. Oder sollen wir
sagen: Das Fundamentale ist der Begriff der Wiederholung
der Operation? Denn wir haben doch einen allgemeinen
Begriff der Zahl, einen Begriff ihre ihrer
unbegrenzten Möglichkeit. Und das ist doch nicht
möglich, dass es in der Logik einen
Begriff und eigene individuelle unter ihn fallende Gegenstände
gibt, die der Begriff nicht völlig bestimmt. | ✓ ? |
Schon, dass mit dem logischen Begriff
(1, ‒ ,
‒ + 1) die Existenz
seiner Gegenstände bereits gegeben ist, zeigt,
dass er sie bestimmt. | ✓ ? |
Das ist
übrigens ganz klar; jede Zahl hat ihre
nichtreduzierbare Individualität. Und wenn ich
irgend eine Eigenschaft einer Zahl beweisen will,
muss ich sie immer selbst irgendwie
hineinbringen. 28 | ✓ / \ |
Man kann insofern sagen, dass die
Eigenschaften einer bestimmten Zahl nicht
vorauszusehen sind. Man sieht sie erst, wenn
man dort ist. Man könnte sagen: Kann ich nicht etwas über die Zahl 3¹⁰ beweisen, obwohl ich sie nicht anschreiben kann? Wohl, aber 3¹⁰ ist schon die Zahl, nur auf andere Weise angeschrieben. | ✓ / \ |
Das Fundamentale ist nur die Wiederholung einer
Operation. Jedes Stadium dieser Wiederholung hat seine
Individualität. | ✓ / \ |
Nun ist es nicht etwa so, dass ich durch
die Operation von einer Individualität zur andern
fortschreite. So dass die Operation
das Mi[f|t]tel wäre, um von einer zur andern zu
kommen. Etwa das Vehikel, das bei jeder Zahl anhält,
die man nun betrachten kann. Sondern die dreimalige
Operation
+ 1
erzeugt und ist die Zahl 3. | ✓ / \ |
Ein “unendlich
compliziertes Gesetz” heisst, kein Gesetz. Wie
könnte man wissen, dass es unendlich
kompliziert ist? Nur so, indem es gleichsam unendlich
viele Näherungswerte zu diesem Gesetz gäbe.
Aber bedingt das nicht, dass sie sich
wirklich einem Ziel nähern? Oder
kann man die unendlich vielen Beschreibungen der von Strecken der Primzahlenreihe solche Näherungswerte
des Gesetzes nennen? Nein, denn keine Beschreibung
einer endlichen Strecke bringt uns dem Ziele einer
Gesamtbeschreibung näher. Wie unterscheidet sich denn ein unendlich compliziertes Gesetz in diesem Sinne von gar keinem Gesetz? Das Gesetz würde dann höchstens lauten “es ist alles, wie es ist”. | ✓ / \ |
Die Zahl 5 wirkt nicht als die 5.
Zahl fünfte Zahl im Vergleich mit der vierten,
sondern als 5, die einzig ist. | ✓ ? |
“Wir kennen die
Unendlichkeit aus der Beschreibung”. Dann gibt Nun dann
gibt es eben nur diese Beschreibung und nichts sonst.
| ✓ / \ |
Die Ueberlegungen der Mathematiker
über das Unendliche sind doch lauter endliche
Ueberlegungen. | ✓ / \ |
Ist es also denkbar, dass es
zwei Klassen von irrationalen Zahlen gibt: Die eine
durch Gesetze bestimmt, also alle die wir je kennen können, und
eine, durch keine Gesetze bestimmte, also die
Gesamtheit derer, die wir nicht kennen können! | ✓ / \ |
Angenommen, ich schneide dort, wo keine rationale Zahl ist.
Dann muss es doch
Näherungswerte zu diesem Schnitt geben. Aber was
heisst hier “näher”? Näher wem?
Vorläufig habe ich ja im Gebiete der Zahl nichts, dem ich mich
nähern kann. Wohl aber auf der
geometrischen Strecke. Hier ist es klar,
dass ich jedem
nicht|rationalen Schnitt beliebig nahe kommen kann. – Und es ist auch klar, dass dieser
Prozess kein Ende nimmt und ich durch die
räumliche Tatsache unzweideutig wei⌊t⌋ergeführt
werde. | ✓ / \ |
Wieder ist es nur
die unendliche Möglichkeit, aber jetzt ist das Gesetz auf
andere Weise gegeben. 29 | ✓ ? |
So kann ich mich jedem Punkt einer Strecke durch fortgesetzte
Bisektion undbegrenzt nähern und mit unendlich
feinen Augen und Werkzeugen wäre jeder Schritt
der Bisektion bestimmt. (Die unendliche Schärfe der
Augen gibt keinen circulus
vitiosus) | ✓ / \ |
Könnte man nun eine
auf diese Weise bestimmte Ziffernfolge einen unendlichen
Dezimalbruch nennen? D.h., bestimmt
dieses geometrische Verfahren nun eine Zahl?
| ✓ ? |
Das geometrische Verfahren enthält darum
keinen circulus vitiosus, weil
in ihm nur die unendliche Möglichkeit vorausgesetzt wird,
nicht ⌊k⌋eine und endliche unendliche
Wirklichkeit. (Linien und Punkte sind durch die
Grenzlinien von Farbflächen gegeben.) | ✓ ? |
In wiefern kann man sagen, dass ich dadurch
die rationalen Zahlen wirklich in zwei Klassen geteilt
habe? Tatsächlich kommt ja diese Teilung nie zu
Stande. Aber ich habe ein Verfahren, mit
dem ich mich dieser Teilung unbegrenzt nähere?
Ich habe ein unbegrenztes Verfahren, dessen Resultate als solche
mich nicht zum Ziele führen, dessen grenzenlose
Möglichkeit aber eben das Ziel ist. Worin besteht
aber diese Grenzenlosigkeit haben wir hier nicht
wieder bloss eine Operation und das ad infinitum? Gewiss.
Aber die Operation ist keine aritmetische.
(Und jenen Punkt der mir als Hilfsmittel meiner endlosen Konstruktion dient, kann ich arithmetisch gar nicht geben.) | ✓ ? |
Hier
würden nun Viele sagen:
Dass die Methode eine
geometrische war, macht [j|n]ichts, es ist eben nur die
resultierende Extension, die unser Ziel ist.
Aber habe ich denn die? | ✓ / \ |
Hat die
Frage einen Sinn: Wenn ein bestimmter Punkt und mit ihm
ein endloses Verfahren gegeben ist, gibt es ein arithmetisches
Verfahren, das dieselbe Extension erzeugt, wie der Punkt?
| ✓ ? |
Hat es aber auch nur einen Sinn zu sagen,
dass ein gewisser – nicht rationaler
– Punkt
keine
Irrationalzahl bestimmt? Doch, das scheint einen Sinn zu
haben. Denn der Punkt bestimmt doch alle
Näherungszahlen voraus, sie sind mit ihm in einem gewissen
Sinne alle gegeben. (﹖) | ✓ ? |
Beweise, die dasselbe beweisen sind in einander
übersetzbar und insofern derselbe Beweis. Das
gilt nur für solche Beweise nicht, wie etwa: “Dass er zu Hause
ist, ersehe ich aus zwei Tatsachen; erstens hängt sein Rock im
Vorzimmer und zweitens höre ich ihn pfeifen”. Hier haben wir zwei unabhängige
Quellen der Erkenntnis. Der Beweis bedarf eben
von aussen kommende Gründe, während
ein Beweis der Mathematik die Analyse des mathematischen Satzes
ist. 30 | ✓ / \ |
Hat ein
geometrischer Beweis eine andere Art der Anschaulichkeit als der
arithmetische? Es handelt sich nur darum,
dass der Beweis kein Experiment werden
darf. | ✓ / \ |
Was ist das analoge zu
dem geometrischen Prozess in der
Arithmetik? Es muss der
umgekehrte Vorgang sein, der, einen Punkt durch ein Gesetz zu
bestimmen. (Statt das Gesetz durch einen
Punkt). | ✓ – |
Und zwar entspräche
es dem endlosen Vorgang des Wählens zwischen 0 und 1 in einem
unendlichen Dualbruch 0˙1
0˙
| ✓ – |
Das
heisst aber nicht,
dass dadurch ein Gesetz gegeben
wäre, dass ich sage: “Wirf für jeden Fall Kopf oder
Adler”. Dadurch
müsste ich freilich einen Spezialfall
jenes Gesetzes erhalten, wüsste
aber von vornherein nicht, welchen. Durch die Vorschrift
zu würfe⌊l⌋n ist kein Gesetz der Folge
beschrieben. | ✓ – |
Man könnte
fragen: Aber wie unterscheidet sich denn das
geometriische Verfahren vom Würfeln?
Sind sie nicht wesentlich dasselbe, nämlich quasi eine
physikalische Methode? Nein, denn die
Vorschrift des Würfelns bestimmt selbst keine Zahlenfolge; die
Lage des Punktes ist schon das Aequivalent
einer bestimmten unendlichen Zahlenfolge (﹖)
| ✓ |
Das, was am Vorgang des
Würfelns arithmetisch ist, ist nicht das tatsächliche
Resultat, sondern die unendliche Unentschiedenheit. Aber
die bestimmt eben keine Zahl. Das
ist nicht wahr! Vorgang des
Messens!! Nichts bestimmt, was beim Vorgang des
Halbierens heraus kommen wird. | ✓ |
Wenn ich ein Gesetz so andeute “0˙001001001 …
ad inf.”, so ist nicht die endliche Reihe als
Specimen des Stücks einer unendlichen, was
ich zeigen will, sondern die aus ihm entnehmbare Art
der Gesetzmässigkeit. Aus
o˙
| ✓ / \ |
Die Kombinationsregeln von 0 und 1 ergeben die Gesamtheit
aller endlicher Brüche. Das wäre
eine unendliche Extension, in dieser
müsste sich auch die unendliche
Extension der Brüche 0,1 0˙1, 0˙101,
0˙10101,
etc. ad inf. vorfinden und überhaupt alle
Irrationalzahlen. (﹖) | ✓ / \ |
Kann man sagen, wenn es nur eine endliche Anzahl von Dingen gibt,
dass dann die unendliche Zahlenreihe
dennoch auf die endliche Anzahl angewendet wird, nur auf eine
andere Art, als auf eine unendliche Mannigfaltigkeit.
Etwa so, dass die unendliche Anzahl immer wieder von vorn gezählt wird, unenendlichmal. Aber setzt das nicht eben die unendliche Zeit voraus? Und ist denn dann die Vorschrift (a, ‒ , ‒ a) unendlich? Aber hier wird eben nur eine endliche Möglichkeikeit vorausgesetzt. 31 | ✓ ? |
/ |
Wenn unsere Zeichen a alle nur in 6 Punkten eines
Kreises liegen dürften, so würde das der unendlichen
Regel gar nichts anhaben. Unsere Vorschrift
wäer dennoch unendlich.
Das Max | ✓ ? |
/ |
Das
Maximum einer Funtion ist einer intentionalen
Erklrung Erklärung fähig.
Der höchste Punkt einer Kurve ist zwar höher als ein
beliebig herausgegriffener anderer Punkt, aber ich finde ihn nicht
dadurch, dass ich die Punkte der Kurve
einzeln durchgehe und sehe, ob einer noch höher ist.
| ✓ / \ |
/ |
Hier ist es wieder die Grammatik, die wie immer im Bereich des
Unendlichen uns einen Streich spielt.
Wir sagen “der höchste Punkt der Kurve”. Das kann aber nicht heissen “der höchste Punkt unter allen Punkten der Kurve” in dem Sinn, in dem man vom grössten dieser drei Aepfel redet, denn wir haben ja nicht alle Punkte der Kurve vor uns, ja dieser Ausdruck ist unsinnig. Es ist derselbe Fehler unserer Syntax, der d[ie|en] S[ä|a]tze “der Apfel lässt sich in zwei Teile teilen” als die gleiche Form darstellt, wie “eine Strecke ist unbegrenzt teilbar, so dass man scheinbar in beiden Fällen sagen kann “nehmen wir an die mögliche Teilung sein ausgeführt”. In Wahrheit haben aber die Ausdrücke “in zwei Teile teilbar” und “unbegrenzt teilbar” ganz verschiedene Formen. Es ist das natürlich derselbe Fall, wie der, dass man mit dem Worte “unendlich wie mit einem Zahlwort operiert; weil beide in der Umgangssprache auf die Frage “wieviel” zur Antwort kommen. | ✓ / \ |
/ |
Die Kurve ist da, unabhängig von einzelnen ihrer
Punkte. Das drückt sich auch dadurch aus,
dass ich den höchsten Punkt
konstruieren kann. D.h.
ihn aus einem Gesetz erhalte und nicht durch Untersuchung einzelner
Punkte. | ✓ / \ |
Was ist ein Aggregat von Punkten? Können wir
nicht doch ein unendliches Aggregat als solches gleichsam von
aussen beschreiben? Indem wir
– allgemein – sagen, dass jedes
Eleme[t|n]t einen Nachfolger hat, der nicht es selbst, oder
einer seiner Vorgänger ist? Ist damit nicht eine
wirkliche Unendlichkeit beschrieben, ob dieser nun etwas entspricht
oder nicht. Und wie ist hier die Unendlichkeit
gefasst? Denn scheinbar ist
sie durch alauter endliche Begriffe dargestellt.
Oder kommt hier die Unendlichkeit dadurch in meinen Satz,
dadurch dass ich sagen
muss, dass kein
Element der Nachfolger seines Vorfahren sein kann?
Wie ist der Satz “a ist der Vorfahre von b” darzustellen? aRb . V . (Ex)aRx . & . xRb . V . (Ex,y)aRx . & . xRy . & . yRb . V . etc. Steht am Ende dieser Reihe nicht dass “ad inf.” dann beschreibt auch der Satz keine unendliche Reihe. Aber eine unendliche logische Summe ist ein Unsinn. | ✓ / \ |
Es ist auch die
Dedekind'sche Definition einer unendlichen Menge eine solche,
die das Unendliche [B|b]eschreiben will, ohne es
darzustellen.
32 | ✓ / \ |
/ |
Ergibt sich eine Notation wie die obige nicht, wenn wir diejenige
Allgemeinheitsbezeichnung einführen, die
Russell zwar
nicht anwendet, die aber z.B. zur richtigen
Erklärung von R +
nötig ist. Dazu wird nämlich eine Notation
gebraucht: “(En).0n'B” | ✓ / \ |
/ |
(n).(Enx)Fx: “Sie können davon jede
Anzahl haben”. | ✓ / \ |
/ |
Die Frage
wäre: Welches
Criterium gibt es dafür,
dass die irrationalen Zahlen
komplett sind? | ✓ / \ |
/ |
Sehen wir uns eine irrationale Zahl an: Sie läuft
entlang einer Reihe rationaler Näherungswerte. Wann
verlässt sie diese Reihe?
Niemals. Aber sie kommt
allersings auch niemals zu einem Ende.
Angenommen wir hätten die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen. Wie würde uns diese eine abgehen? Und wie würde sie nun – wenn sie dazu käm käme – die Lücke füllen? – Angenommen es wäre [II|π]. Wenn die i[i|r]rationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu jedem beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von [II|π] übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann beliebig weit “draussen” liegen. So dass ich zu jeder Reihe, die [II|π] begleitet, eine finden kann, die es weiterbegleitet. Wenn ich also die Gesamtheit aller irrationalen Zahlen habe ausser [II|π], und nun [II|π] einsetze, so kann ich keinen Punkt angeben, an dem [II|π] nun wirklich nötig wird, es hat an jedem Punkt einen Begleiter, der es vom Anfang an begleitet. | ✓ / \ ✢ ✢ |
/ |
Das zeigt klar, dass die irrationale Zahl
nicht die Extension eines unendlichen Dezimalbruchs sondern ein
Gesetz ist. | ✓ / \ |
/ |
Daraus scheint irgendwie hervorzugehen – was mir sehr
einleuchtet – dass die Unendlichkeit
der Länge keine Grösser der
Länge ist. | ✓ / \ |
/ |
Auf die obige Frage
müsste man antworten:
[II|π], wenn es
eine Extension wäre, würde uns niemals
abgehen”.
D.h. wir könnten niemals eine Lücke
bemerken. Wenn man uns fragen würde “aber hast Du auch einen unendlichen
Dezimalbruch, der m an der
rt r-ten Stelle hat und
n an der s-ten” etc., so könnten wir ihm
immer dienen. | ✓ / \ ✢ |
/ |
Nehmen wir nun an, wir hätten alle irrationalen Zahlen
gegeben, die sich durch Gesetze darstellen lassen, das seien aber
nicht alle, und ˇnun wird mir ein Schnitt gegeben
der eine in dieser ersten Klasse nicht enthaltene Zahl
darstellt: Wie kann ich erkennen,
dass das der Fall ist? Es ist
unmöglich, denn wie weit ich auch mit meinen Werten
fortschreite, immer wird sich ein entsprechender Bruch finden.
Man kann also nicht sagen, dass die gesetzmässig fortschreitenden unendlichen Dezimalbrüche noch ergänzungsbedürftig sind durch eine unendliche Menge ungeordneter unendlicher Dezimalbrüche, die “unter den Tisch fielen” wenn wir uns auf die gesetzmässig erzeugten beschränken würden. Wo ist so ein ungesetzmässig erzeugter unendlichcher Bruch? Und wie können wir ihn vermissen? Wo ist die Lücke, die er auszufüllen hätte? ⌊⌊ Alles wird beherrscht von der Analogie daß man eine Länge auf verschiedene Weisen messen kann. Aber auch hier bedeutet ja das Wort „Länge” verschiedenes je nach der Methode oder der Gruppe von zugelassenen Methoden. ⌋⌋ 33 | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Alles wird
beherrscht von der Analogie daß man eine Länge
auf verschiedene Weisen messen kann. Aber
auch hier bedeutet ja das Wort „Länge”
verschiedenes je nach der Methode oder der Gruppe
von zugelassenen Methoden. ⌋⌋ |
/ |
Wenn man
sagt “die Menge aller transzendenten
Zahlen ist grösser ist
grösser als die der
[A|a]lgebraischen”, so ist
das ein Unsinn; sie ist von anderer Natur. Sie ist nicht
“nicht mehr” abzählbar, sondern einfach: nicht
abzählbar! | ✓ / \ |
/ |
Wenn von
vornherein nur die Gesetze ins Unendliche reichen, so
könnte die Frage, ob die Gesamtheit der Gesetze die Gesamtheit
der unendlichen Dezimalbrüche erschöpft, gar keinen Sinn
haben. | ✓ / \ |
/ |
Wir haben
offenbar einen Begriff von der geometrischen Methode
ohne auch nur ein einziges Beispiel wirklich ausführen zu
können. Warum kann man dann diesen Begriff nicht
beschreiben? Er wird dargestellt durch das Kontinuum, das
uns eine räumliche Strecke repräsentiert.
Die Frage wäre dann eigentlich: Lässt sich das Kontinuum beschreiben? Wie es Cantor und andere versucht haben. | ✓ / \ |
/ |
Eine Form
kann nicht beschrieben sondern nur dargestellt
werden. | ✓ / \ |
/ |
Wie ist
es, wenn man die verschiedenen Gesetze durch die Menge der
endlichen Combinationen sozusagen
kontrolliert. Die Resultate eines Gesetzes durchlaufen die endlichen Combinationen und die Gesetze sind daher, was ihre Extensionen anlangt, complett, wenn alle endlichen Combinationen durchlaufen werden. | ✓ / \ |
/ |
Man kann
auch nicht sagen: Zwei Gesetze sind dann identisch, wenn
sie in jeder Stufe das gleiche Resultat ergeben. Sondern
sie sind identisch, wenn sie wesentlich das gleiche Resultat
ergeben, d.h. wenn sie identisch sind.
| ✓ / \ |
/ |
Wenn eine
amorphe Theorie der unendlichen Aggregate möglich
ist, so muss sie nur das Amorphe an diesen
Aggregaten beschreiben und darstellen. Sie müsste dann wirklich die Gesetze als blosse unwesentliche Mittel der Darstellung eines Aggregats auffassen. Und von diesem Unwesentlichen abstrahieren und nur auf das Wesentliche schauen. Aber worauf? Ist es möglich im Gesetz vom Gesetz zu abstrahieren und die Extension als Wesentliches dargestellt zu sehen? | ✓ / \ |
/ |
Dass es ein Gesetz ist, wäre dann aber
nicht das Wesentliche am Symbol. Sondern
dass es eine unendliche Extension
bestimmt. (Aber gerade die gibt das Gesetz
nicht) | ✓ / \ |
Verhilft uns die geometrische Methode des Schnittpunktes zur Idee
einer unendlichen Combination, die wir
ohne sie nicht hätten? Eines ist doch klar, dass das Resultat der Schnittmethode ein arithmetisches ist Dann muss also entweder die Vorschrift eine arithmetische sein, oder wenn nicht, dann ist die Extension der konstruierten Zahlen losgelöst von dieser Vorschrift ein arithmetischer Begriff. D.h., wenn die Schnittmethode nicht zur Arithmetik gehört dann gib gibt es also ein Verfahren, an einer unendlichen Zahlenreihe entlang zu kommen, das a an sich unwesentlich ist und uns nur zeigen würde, dass es diese Extension gibt. Hier hätten wir eine Zahlenfolge die als solche ohne Zweifel von einem nicht- 34 arithmetischen,
und daher für diese Folge nicht
wesentlichen, Gesetze hervorgebracht wäre. Das
Verfahren würde uns diese Folge darbieten und sich dann,
sozusagen, zurückziehen. Wir wären dann in jedem Fall aus dem Wasser. Entweder ist die geometrische Methode eine arithmetische, dann darf sie in der Arithmetik benützt werden um die irrationalen Zahlen zu definieren, oder sie ist keine arithmetische, dann liefert sie uns eine unendliche Extensio[j|n] und diese ist ein Gegenstand der Arithmetik. | ✓ / \ ✓ |
/ |
Man würde dann sagen: Irrationale Zahlen sind uns
entweder durch arithmetische Gesetze gegeben, oder
nicht; dass es solche gibt, die uns nicht
durch arithmetische Gesetze gegeben sind, sehen wir
z.B. daraus,
dass eine geometrische Methode
extensionen liefert, die durch kein
arithmetisches Gesetz gegeben sind. | ✓ / \ |
/ |
Das geometrische Verfahren wäre dann wirklich nur eine
unwesentliche Konstruktion (Gerüst) um zu den Zahlen
einer existierenden [e|E]xtens[o|i]on zu
gelangen. | ✓ / \ |
/ |
Kann ich aber zweifelhaft sein, ob alle Punkte einer Strecke
wirklich durch arithmetische Vorschriften dargestellt werden
können? Kann ich denn je einen Punkt finden,
für den ich zeigen kann, dass das nicht
der Fall ist? Ist er durch eine Konstruktion gegeben,
dann kann ich diese in eine arithmetische Vorschrift
übersetzen und ist er durch Zufall gegeben, dann gibt es,
soweit ich auch die Annäherung fortsetze, immer einen
arithmetisch bestimmten Dezimalbruch, der sie begleitet.
Es ist klar, dass ein Punkt einer Vorschrift entspricht. | ✓ / \ |
Wie verhält es sich mit den Typen der
Vorschriften und hat es einen Sinn von allen Vorschriften, also von
allen Punkten zu reden? In irgend einem Sinne kann es nicht irrationale Zahlen verschiedener Typen geben. Dabei ist mein Gefühl folgendes: Wie immer die Vorschrift lauten mag, stets bekokomme ich doch weiter nichts als eine endlose Reihe rationaler Zahlen. Man kann auch so sagen: Wie immer die Vorschrift lautet, wenn ich sie in die geometrische Notation übertrage, ist alles von der gleichen Type. (gemeinsame Dezimalnotation) | ✓ ? / \ |
Beim
Approksi Approximieren durch
fortgesetzte Zweiteilung nähert man sich
jedem Punkt durch rationale
Zahlen. Es gibt keinen Punkt, dem man sich nur
mit irrationalen Zahlen einer bestimmten Type nähern
könnte. Ist das nicht ein “axiom of
reducibility”? | ✓ ? |
Heisst nicht die allgemeine Form eines
Gesetzes[“|:] “Hier wähle auf jeder Stufe den
Schritt, der eine bestimmte Bedingung erfüllt”? Nun ist aber die allgemeine Form der
Bedingung nur die Bedingungslosigkeit, aber jeder spezielle Fall kann
nur eine Bedingung sein, die die Wahl ad infinitum
reguliert. | ✓ / \ |
Was da ist, ist aber nur der Punkt. Und der ist eine
Methode zur unendlichen Erzeugung einer Extension.
Die fertige unendliche Extension ist nie da, denn sie ist ein
Unding. Der Punkt gibt unendlich viele – endliche
– Extensionen. Aber nicht eine ◇
unendliche Extension. Das Unendliche ist ein Pfeil, nicht eine Strecke! 35 | ✓ / \ |
Kann man
den Prozess der Bisektion nicht irgendwie in
einem beweglichen Massstab darstellen,
s[i|o] dass der
Prozess an den unendlichen Raum und nicht an
eine Strekke gebunden
ist? Das käme darauf hinaus, die Strecke immer
wieder mit einem stärkeren
Vergrösserungsglas anzuschauen, um noch
weiter messen zu können; und das ist
natürlich möglich. | ✓ / \ |
/ |
Die
Theorie der Aggregate sucht das Unendliche auf eine allgemeinere Art
zu fassen als die Theorie der Vorschriften.
Sie sagt, dass das wirklich
Unendliche mit dem arithmetischen Symbolismus überhaupt nicht
zu fassen ist und dass es also nur
beschrieben und nicht dargestellt werden kann. Die
Beschreibung würde es etwa so
erfas[ä|]sen, wie man eine
Mengen Dinge, die man nicht alle in den Händen halten
kann, in eine einer Kiste verpackt
trägt. Sie sind dann unsichtbar und doch wissen wir,
dass wir sie tragen (sozusagen
indirekt). Die Theorie der Aggregate kauft gleichsam die
Katze im Sack. Soll sich's das Unendliche in
| ✓ / \ |
/ |
Darauf
beruht auch die Idee, dass man logische Formen
mit der Sprache beschreiben kann. In so einer
Beschreibung werden die Str[j|u]kturen und etwa
zu-ordnende Relationen
etc. in verpacktem Zustand präsentiert und so
sieht es allerdings aus, als könne man von einer Struktur
reden, ohne sie in dem Satz selber wiederzugeben. Derart
verpackte, also ihrer Struktur nach unkenntliche
Begriffe dürfen wir allerdings verwenden, aber sie haben
ihre Bedeutung immer über Definitionen die eben die Begriffe
solchermaßen einpacken; und gehen wir nun rückwärts durch
diese Definitionen, so werden die Begriffe wieder
ausgepackt und sind so in ihrer Struktur vorhanden. | ✓ / \ |
/ |
So macht
es Russell mit
R + ,
er wickelt den Begriff ein so dass seine Form
verschwindet. | ✓ / \ |
/ |
Der Sinn
dieser Methode ist, alles ampor amorph zu machen
und so zu behandeln. | ✓ / \ |
Kann man
sagen: Die Extension eines Gesetzes ist die gleiche, wie
die eines anderen, oder verschieden von ihr.
Nein! Man kann sagen, das eine Gesetz liefert in
einem bestimmten Bereich andere Resultate als das andere und man kann
natürlich sagen, das eine Gesetz ist verschieden
von dem anderen. Man darf auch von einem Gesetz
reden, das nur Dualbrüche liefert, wenn damit eine – interne
– Eigenschaft dieses Gesetzes gegeben wird. | ✓ / \ |
/? |
Es ist schon
möglich, dass ich bei der Bestimmung
eines Maximums auf eine neue Vorschrift
stosse, aber diese hat nichts Wesentliches mit
der Bestimmung des Maximummums zu tun; sie
bezieht sich nicht ausdrücklich auf eine Gesamtheit von reellen
Zahlen. | ✓ ? |
Es scheint jetzt
doch, dass die
A⌊l⌋lgemeinheitsbezeichnung für Zahlen keinen Sinn
hat. Ich meine: Man kann nicht sagen “(n)Fn” weil eben “alle
natürlichen Zahlen” kein
begrenzter Begriff ist. Dann darf man aber auch nicht
sagen, dass aus einer
36. Aussage
über das Wesen der Zahl eine allgemeine Aussage folgt.
| ✓ ? |
Dann aber scheint es mir, als könne man die
Allgemeinheit – alle, etc. – in der
Mathematik überhaupt nicht verwenden. Alle Zahlen gibt
es nicht, eben weil unendlich viele da sind. Und weil es
sich hier nicht um das amorphe “alle” handelt,
wie im Satz “alle
Aepfel sind reif”, wo die Menge durch eine
äussere Beschreibung gegeben ist,
s[i|o]ndern um die Gesamtheit von
Srtukturen, die eben als solche gegeben
werden müssen. | ✓ / \ |
/ |
Es geht
sozusagen die Logik nichts an, wieviel
Aepfel vorhanden sind, wenn von
allen Aepfel
geredet wird. Dagegen ist es anders bei den Zahlen,
für die ist sie einzeln verantwortlich. | ✓ / \ |
/ |
Hier
scheint ein wesentliches “es
gibt” vorzulegen.
Oder kann man sagen, die variable Kurve schneidet die gerade in einem variablen Punkt? Es heisst nicht “unter allen Punkten gibt es nur einen worin sie die Gerade schneidet”, sondern es ist nur von einem Punkt die Rede. Sozusagen von einem, der die Gerade entlang läuft, aber nicht von einem unter allen Punkten der Geraden. Die Gerade besteht nicht aus Punkten. | ✓ / \ |
/ |
Man kann
sich eine Notation denken, in der jeder Satz als Resultat gewisser
Operationen – Uebergänge
– auf der Basis bestimmter “Axiome”
dargestellt wird. (Etwa analog der Darstellung
einer chemischen Verbindung durch den chemischen Namen “Trimethylamido …etc.). | ✓ / \ |
/ |
Aus den Anweisungen, die Russell und Whitehead den Sätzen der Principia
Mathematica voraussetzen,
liesse sich durch einige Modifikationen eine
solche Notation herstellen. | ✓ / \ |
/ |
Der
mathematische Satz verhält sich dann zu seinem Beweis wie die
eine oberste Fläche eines Körpers zu diesem
selbst. Man könnte vom Beweiskörper des Satzes
reden. Nur unter der Voraussetzung, dass ein Körper hinter der Fläche steht, hat der Satz für uns Bedeutung. Man sagt auch: Der mathematische Satz ist (nur) das letzte Glied einer Beweiskette. | ✓ – |
Ein allgemeiner mathematischer Satz, der nichts
über das Wesen der Zahl aussagt – und sich
daher auch nicht beweisen lässt –
ist ein Unding | ✓ ? |
Sagen die
Intuitionisten nicht einfach, dass das
Gegenteil des Satzes “der
Beweis von A ist
möglich” nicht lautet “der Beweis von
-A
ist möglich”, sondern
37 “der Beweis von A ist nicht
möglich”. | ✓ ? |
Bedeutet der Satz “(n).Fn” “es liegt im Wesen der
Zahl, dass Fn”, dann ist sein Gegenteil nicht “es liegt im Wesen der Zahl,
dass non-
non-Fn” sondern “es liegt
nicht im Wesen der Zahl, dass
Fn”.
| ✓ ? |
Die Beschreibung
der Ph[ö|ä]nomene mittels der Hypothese der
Körperwelt ist unumgänglich durch ihre Einfachheit,
verglichen mit der unfassbar komplizierten
phänomenologischen Beschreibung. Wenn ich
verschiedene zerstreute Stücke einer Kreislinie sehe, so ist
ihre genaue direkte Beschreibung vielleicht unmöglich, aber die
Angabe, dass es die Stücke eines
Kreises sind, den ich, aus nicht weiter untersuchten
Gründen, nicht ganz sehe, – ist einfach.
| ✓ – |
Diese
Beschreibung führt immer einen irgendeinen
Parameter ein, dessen Untersuchung wir für unsere Zwecke
unterlassen dürfen. | ✓ – |
Ist die
[v|V]ariable dieselbe in den Gleichungen
(x + y)²
= x² und
+ y² + 2xy
und x² + 3x + 2
= 0? Und wie ist es mit
x² + ax + b
= 0? Oder x² + xy + z
= 0? | ✓ ? |
(
| ✓ ? |
Was
heisst “es
gibt wesentlich” anders
als “es
lässt sich
konstruieren”? | ✓ – |
(x ÷ y
(x + y)²
=
x² + y² + 2xy.
[I|i]st in demselben Sinne richtig wie
2 × 2 =
4. Und 2 + n = 1 (wo n eine Cardinalzahl ist) ebenso falsch, wie 2 + 3 = 1 und 2 + n ≠ 1 richtig, wie das obere. | / \ |
Was Einen an der bloss
internen Allgemeinheit zweifelhaft macht ist die
Tatsache, dass sie durch das Vorkommen eines
einzelnen Falles (also von etwas Extensionalem) widerlegt
werden kann. Aber wie ist hier die Collision zwischen dem [A|a]llgemeinen und dem speziellen Satz? Der besondere Fall widerlegt den allgemeinen [D|S]atz v[i|o]n innen heraus, nicht auf externe Weise. Er wendet sich gegen den internen Beweis des Satzes und widerlegt ihn nicht, wie die Existenz eines einzigen Menschen einäugigen Menschen, den Satz “alle Menschen haben zwei Augen” widerlegt. | ✓ / \ |
Gegen den Einwand: “Wenn ich die Zahlenreihe durchlaufe, so
kommen ich entweder einmal zu der Zahl von der
gewünschten Eigenschaft, oder nie”
ist nur zu antworten, dass es keinen Sinn
hat zu sagen, man kommt einmal zu der Zahl, und
ebensowenig, man kommt nie dahin.
Wohl ist es richtig, zu [d|s]agen, die Zahl 101 ist
jene Zahl, oder sie ist es nicht. Aber von
allen Zahlen kann man nicht reden, weil es nicht
alle Zahlen gibt. 38 | ✓ / \ |
Wie ist es dann
aber mit einer richtigen – nicht amorphen – Erklärung
des R + ?
Hier brauche ich doch “(n) …”. In diesem Falle scheint dieser Ausdruck
erlaubt zu sein. Ist er es also nur dort
nicht, wo wir es nicht mit eigentlichen Sätzen sondern mit
Gleichungen zu tun haben? | ✓ ? |
Es ˇSchließlich sagt ja
auh “(Ex).Fx” auch “es gibt eine Anzahl von
x
die Fx
genügen” und doch darf der
Ausdruck “(Ex).Fx”
nicht die Gesamtheit aller Zahlen voraussetzen. | ✓ / \ |
Auch Ramsey's Erklärung der Unendlichkeit ist
aus eben diesem Grunde unsinnig, denn “(n):(Enx).Fx”
würde die tatsächliche Unendlichkeit als gegeben
voraussetzen und nicht bloss die
unbegrenzte Möglichkeit des Fortschreitens. | ✓ – |
Aber ist es undenkbar, dass ich
weiss, dass jemand
mein Ahne ist aber gar keinen Begriff davon habe, der
wievielte, sodass die Zahl der
Zwischenglieder unbeschränkt
wäre? | ✓ / \ |
Wie lautet aber der Satz
“F wird von ebensovielen
Gegenständen befriedi[f|g]t wie
G”? Man
würde meinen: “(En) :(Enx).Fx
. & . (Enx)Gx”.
| ✓ ? |
Seltsamerweise könnte man diese Notation stehen
lassen, wenn unter n nur alle Zahlen von 1 bis zur Anzahl
aller Gegenstände verstanden werden.
Der Satz muss unsinnig werden, wenn n eine gewisse Grenze überschreitet, die aber nur durch den Sinn des x gegeben sein kann. | ✓ ? |
Aber sagt sorgt nicht der Ausdruck “(En):(Enx)
etc.” für sich
selbst? Denn das “(En)” hat doch nur in
Verbindung mit einer Allgemeinheitsbezeichnung wie “(Enx)” Sinn und diese
Verbindung sorgt eben dafür, dass
“(En)” nicht in einer
unsinnigen Weise aufgefasst wird.
| ✓ ? |
Der Unterschied zwischen den beiden Gleichungen
x² =
x ∙ x und x² = 2x ist
nicht einer der Extension ihrer Richtigkeit.
| ✓ / \ |
Wenn man sagt (wie Brouwer) dass es im Falle
(x).Fx = Gx
ausser dem Ja und Nein noch den
Fall der Unentscheidbarkeit gibt, so heisst
das, dass “(x) …” extensiv gemeint ist und man von dem Falle
reden kann, wenn alle x eine Eigenschaft
zufälligerweise besitzen. In Wahrheit aber
lässt sich von diesem Falle
überhaupt nicht reden und das “(x) …” in der Arithmetik sich nicht extensiv auffassen. | ✓ / \ |
“(x).x² =
x + x” scheint falsch zu sein, weil die Untersuchung der Gleichung
ergibt, dass
x =
(
39 | ✓ / \ |
Aber kann ich denn
nicht von einer Gleichung sagen: “Ich weiss, sie
stimmt für einige – ich erinnere mich nicht mehr,
welche – Substitutionen nicht; ob sie aber
allgememein nicht stimmt,
wei[i|s]s ich
nicht”? Hat das nicht
einen guten Sinn, und ist es nicht mit der Allgemeinheit der
Ungleichung verträglich[
| ✓ ? |
Soll ich
darauf antworten: “Wenn
man weiss, dass die
Ungleichung für einige Substitutionen stimmt, so
kann das nie heissen
“für einige (beliebige) unter der
unendlichen Reihe der Zahlen”, sondern
ich weiss immer auch,
dass diese Zahl zwischen 1 und
10⁷
liegt, oder sonst welchen Grenzen.”? | ✓ / \ |
Kann ich
wissen, dass eine Zahl der
Gleichung genügt, ohne dass irgend ein
endlicher Bereich für ihr Vorkommen in der unendlichen Reihe
abgegrenzt ist? Nein. | ✓ / \ |
/ |
Eine
Gleichung ist eine syntaktische Regel. | ✓ / \ |
Erklärt das nicht, dass wir in
der Mathematik nicht prinzipiell unbeantwortbare Fragen haben
können? Denn wenn die Regeln der Syntax nicht
verständlich sind, dann taugen sie nichts. Und
ebenso erklärt es dass nicht eine
Unendlichkeit in diese Regeln eingehen kann, die unser
Fassungsvermögen übersteigt. Und es macht auch
die Versuche der Formalisten begreiflich, die in der Mathematik ein
Spiel mit Zeichen sehen. | ✓ / \ |
Ordnet die Beziehung m = 2n die Klasse aller
Zahlen einer ihrer Teilklassen zu? Nein.
Sie ordnet jeder beliebigen Zahl eine andere zu und wir bekommen
auf diese Weise unendlich viele Klassenpaare, deren eine Klasse
der anderen zugeordnet ist, die aber nie im
Verhltnis von Verhältnis von Klasse und
Subklasse stehen. Noch ist dieser unendliche
Prozess selbst in irgend einem Sinne ein
solches Klassenpaar. Wir haben es bei dem Aberglauben, dass, m = 2n eine Klasse ihrer Teilklasse zuordnet wieder nur mit [2|z]weideutiger Grammatik zu tun. | ✓ / \ |
Und zwar hängt alles an der Syntax der Wirklichkeit und
Möglichkeit.
m = 2n enthält die
Möglichkeit der Zuordnung jeder Zahl die
zu einer andern, aber es ordnen
nicht alle Zahlen anderen zu. | ✓ / \ |
Wenn zwei Pfeile in derselben Richtung zeigen, ist es
dann nicht absurd diese Richtungen gleich lang zu
nennen, weil, was in der einen Richtung des
Pfe einen Pfeiles liegt,
auch in der des andern liegt. | ✓ / \ |
Die Allgemeinheit in der Mathematik ist eine
Richtung, ein Pfeil, der der Operationsreihe entlang
weist. Und zwar kann man sagen, der Pfeil weist ins
Unendliche; aber heisst das,
dass es ein Etwas, das Unendliche, gibt, auf
das er – wie auf ein Ding – hinweist? Wenn
man es so auffasst,
muss das natürlich zu endlosem
Unsinn führen. | ✓ / \ |
Der Pfeil bezeichnet gleichsam die Möglichkeit der Lage in
seiner Richtung. 40 | ✓ / \ |
Das Wort Möglichkeit ist natürlich irreführend, denn
was möglich ist, wird man sagen, soll eben nun wirklich
werden. Auch denkt man dabei immer an zeitliche
Prozesse und schliesst daraus,
dass die Mathematik nichts mit der Zeit zu tun
hat, dass die Möglichkeit in ihr
(bereits) Wirklichkeit ist. | ✓ / \ |
(In Wahrheit ist es aber umgekehrt, und was in der
Mathematik Möglichkeit ge[ä|]nannt
wird, ist eben dasselbe, was es auch in der Zeit
ist.) | ✓ / \ |
m =
2n weist der Zahlenrei[g|h]e entlangt
und wenn wir dazusetzen “ins
Unendliche” so
heisst das nichts anderes, als
dass es nicht auf einem
Gegenstand in bestimmter Entfernung weist. | ✓ / \ |
Die unendliche Zahlenreihe selbst ist nur eine solche
Möglichkeit – wie klar aus dem einzigen Symbol für
die “(1, x,
x + 1)” hervorgeht. Dieses Symbol selbst ist ein
Pfeil, und es ist die erste “1” die Feder des
Pfeiles und “x + 1” seine Spitze, und das Charakteristische,
dass, wie die Länge eines Pfeiles
unwesentlich ist, hier das variable x anzeigt,
dass es gleichgültig ist, in welcher
Entfernung von der Feder die Pfeilspitze liegt. | ✓ / \ |
Es ist möglich von Dingen zu reden, die in der
Richtu[g|n]g des Pfeiles liegen, aber unsinnig von allen
möglichen Lagen der Dinge in der Pfeilrichtung als einen
Aequivalent dieser Richtung selbst zu
reden. | ✓ / \ |
Wenn ein Scheinwerfer Licht in den unendlichen Raum wirft, so
beleuchtet er allerdings alles, was in seiner Richtung liegt,
aber man kann nicht sagen, er beleuchtet die Unendlichkeit.
| ✓ / \ |
Ist hier
(im Symbolismus der Arithmetik) nicht die Möglichkeit
tatsächlich die, die allgemeine Gleichung auf einen besonderen
Fall anzuwenden? D.h. diese
Möglichkeit der Anwendung in Symbolen ist das eigentliche
Bild der mathematischen Möglichkeit. | ✓ / \ |
Die
Mengenlehre ist darum falsch, weil sie scheinbar einen Symbolismus
voraussetzt, den es nicht gibt, statt dessen den es gibt
(der allein möglich ist). Sie baut auf einem
fiktiven Symbolismus auf, also auf Unsinn. | ✓ / \ |
Man kann es auch so sagen: Es hat einen Sinn zu
sagen, dass in einer Richtung unendlich
viele Dinge liegen können, aber keinen Sinn,
dass unendlich viele Dinge dort
liegen. Und das steht im Gegensatz zu der gewöhnlichen
Art der Anwendung des Wortes “können”. Denn hat es Sinn, zu sagen,
dass ein Buch auf diesem Tisch liegen kann,
so hat es auch Sinn zu sagen, dass es da
liegt. Aber hier leit führt uns die Sprache irre . Das
“unendlich viele” ist sozusagen [A|a]dverbial gebraucht und so
aufzufassen. | ✓ / \ |
D.h., die Sätze “in dieser Richtung können 3 Dinge
liegen” und “in dieser
Rich- 41 tung können
unden unendlich viele Dinge
liegen” sind nur scheinbar gleich
gebaut; in Wirklichkeit aber verschiedener Struktur. Und
zwar spielt das “unendlich
viele” im zweiten Satz nicht die
Rolle der “3” im ersten Satz. | ✓ / \ |
Es ist auch nur die Vieldeutigkeit unserer Sprache,
dass es scheint, als kämen die
Zahlwörter und das Wort “unendlich” auf
die gleiche Frage zur Antwort. Während in
Wirklichkeit die Fragen, auf die jene Wörter antworten,
grundverschieden sind. | ✓ / \ |
(Die gewöhnliche Auffassung kommt wirklich darauf hinaus,
dass der Mangel einer Grenze auch eine
Grenze ist. Wenn sie auch nicht so klar ausgedrückt
wird.) | ✓ / \ |
Es gibt keine logische Hypothese. | ✓ / \ |
Die unendliche Zahlenreihe ist nur die unendliche
Möglichkeit von endlichen
Zahlen[t|r]eihen. Es ist sinnlos von der
ganzen [U|u]nendlichen Zahlenreihe zu
reden, als wäre auch sie eine Extension. | ✓ / \ ? |
Die Möglichkeit wird durch die Möglichkeit
wi[d|e]dergegeben. In den Zeichen selbst
liegt nur die Möglichkeit und nicht die Wirklichkeit der
Wiederholung. | ✓ / \ |
Heisst es nicht: Die Tatsachen
sind endlich, die unendliche Möglichkeit der Tatsachen
liegt in den Gegenständen. Darum wird sie gezeigt,
nicht beschrieben. | ✓ ? |
Und dem
entspricht, dass die Zahlen – die ja die
Tatsachen beschreiben – endlich sind, dagegen ihre
Möglichkeit, die der Möglichkeit der Tatsachen
entspricht, unendlich ist. Sie drückt sich, wie
gesagt, in den Möglichkeiten des
Symbolysmus aus. | ✓ – |
Das Gefühl ist: In der Mathematik kann es nicht
Wirklichkeit und Möglichkeit geben. Alles ist
auf einer Stufe. Und zwar in gewissem Sinne
wirklich. Und das ist richtig. Denn was die Mathematik mit ihren Zeichen ausdrückt, ist alle alles auf einer Stufe; d.h.: Sie redet nicht, einmal von ihrer Wirklichkeit, und einmal von ihrer Möglichkeit. Sondern sie darf gar nicht versuchen, von ihrer Möglichkeit zu reden. Wohl aber liegt in ihren Zeichen eine Möglichkeit, dieselbe nämlich, die in den eigentlichen Sätzen liegt, in denen die Mathematik angewandt wird. Und wenn sie versucht (wie in der Mengenlehre) ihre Möglichkeiten auszusprsprechen, d.h., wenn sie ˇsie mit ihrer Wirklichkeit verwechselt, dann darf man sie in ihre Grenzen zurückweisen. Möglichkeit eines Kalküls. | ✓ / \ |
“Der höchste Punkt einer
Kurve” bedeutet nicht “der höchste Punkt unter allen Punkten
der Kurve” – die sehen wir ja
nicht, sondern es ist ein bestimmter Punkt, den die Kurve
erzeugt. Ebenso ist das Maximum einer Funktion nicht der
grösste Wert unter allen Werten
(das ist Unsinn, ausser im Falle endlich
vieler, diskreter Punk- 42 te) sondern ein, durch ein Gesetz
und eine Bedingung erzeugter Punkt; der allerdings höher liegt
jeder andere beliebig mögliche herausgegriffene Punkt
(Möglichkeit, nicht
Wirklichkeit). Ebenso ist der Schnittpunkt zweier
Linien nicht das gemeinsame Glied zweier Klassen von Punkten,
sondern der Durchschnitt zweier Gesetze. Wie es auch in
der analytischen Geometrie klar zu Tage liegt. | ✓ / \ |
Der Satz, der
nach Dedekind sagt,
dass eine Klasse F unendlich ist, ist
allerdings nur falsch – nicht unsinnig – wenn nur
endlich viele Dinge die Funktion F befriedigen, aber er ist
unsinnig, wenn es nur eine endliche Anzahl von Dingen gibt.
Und dadurch ist diese Auffassung des Unendlichen
vernichtet. | ✓ – |
“Jedes Ding hat einen und nur einen
Vorgänger; a hat keinen Nachkommen; alle Dinge
ausser a haben einen und nur einen
Nachkommen.” Diese
Sätze scheinen eine unendliche Reihe zu beschreiben (und
daher auch zu sagen, dass es unendlich
viele Dinge gibt. Aber dies Letztere wäre
Voraussetzung dafür, dass die Sätze
Sinn hätten). Sie scheinen eine Struktur
amorph zu beschreiben. Wir können nach
diesen Sätzen eine Struktur aufzeichnen, die sie eindeutig
beschreiben. Aber wor ist diese Struktur
in ihnen zu finden? – Der Satz
muss, wenn es nur endlich viele
Dingen gibt, zu einem Widerspruch führen.
Wie kommt der zustande? Jedenfalls, wenn wir von
dem allgemeinen Satz aufb seine Spezialfälle
schliessen. | ✓ – |
Kann man aber nicht die obigen Sätze einfach als
Sätze der Physik auffassen, die eine wissenschaftliche
Hypothese darstellen? Dann
müssten sie unanfechtbar sein.
Wie wäre es, wenn die Physiologie eine Tierart fände,
in der jedes Individuum von einem
früheren herzurühren scheint, und das als Hypothese
ausspricht. | ✓ / \ |
Werden wir da
durch den Schein irregeführt, als wären die Stücke der
Matherie – also hier etwa die Individuen der
Tiergattung – die einfachen Gegenstände?
D.h., ist das, was man sich ins Unendliche vermehrt denken kann, nicht die Combinationen der Dinge nach ihren unendlichen Möglichkeiten, aber nie die Dinge selbst? | ✓ – |
Die Dinge selbst sind vielleicht die 4 Grundfarben,
der Raum, die Zeit, und solches Gegebene mehr. | ✓ ? |
Kann Wie ist es also etwa mit einer
Reihe von Fixsternen, in der jeder einen
Vorgänger (in einer bestimmten Richtung des Raumes)
hat? Und diese Hypothese käme auf dasselbe
hinaus, wie die eines endlosen Lebens. Diese scheint mir
sinnvoll zu sein un und zwar darum, weil sie
nicht der Einsicht widerspricht, dass man
keine Hypothese über die Zahl der Gegenstände
(Elemente der Tatsachen) machen kann. Ihre Analyse
setzt nur die unendliche Möglichkeit des Raumes und der Zeit
voraus und eine endliche Anzahl von
Erfahrungselementen. | ✓ – |
Wenn ich sage “einmal wird die Welt
untergehen” so sagt das gar nichts,
wenn dabei die Zeit unbegrenzt offen gelassen ist. Denn mit
dieser Angabe ist es verträglich, dass
sie an jedem angegebenen Tag noch existiert. –
Unendlich ist die Möglichkeit
der Zahlen in Sätzen von der Form “in n Tagen wird die Welt
untergehen”. 43 | ✓ – |
Angenommen die
Hypothese wäre: Es gibt im Raum eine unendliche Reihe
roter Kugeln, die in Abständen von 1 m hintereinander
liegen. Welcher denkbaren Erfahrung
könnte diese Hypothese entsprechen? Ich denke etwa,
dass ich dieser Reihe entlang reise und
täglich an einer gewissen Anzahl n von roten Kugeln
vorbeikomme. Dann sollte meine Erfahrung darin
bestehen, dass ich an jedem
zukünftigen Tag, den es geben kann, n neue
Kugeln sehe. Wann aber werde ich diese Erfahrung
gemacht haben? Niemals! | ✓ – |
Auf den Einwand: “Wenn es aber doch unendlich viele Dinge
gibt”, kann man nur
antworten: “Es
gibt sie aber nicht”. Und
was uns glauben macht, dass es sie
vielleicht gibt, ist nur, dass wir die
Dinge der Physik mit den Elementen der Erkenntnis
verwechseln. | ✓ ? |
Wir können darum auch nicht einen hypothetischen unendlichen
Gesichtsraum annehmen in dem eine unendliche Reihe von roten
Flecken sichtbar ist. Was wir uns im physikalischen Raum denken, ist nicht das [p|P]rimäre, das wir nur meh mehr oder weniger erkennen können; sondern, was vom physikalischen Raum wir erkennen können, das zeigt uns, wie weit das Primäre geht und wi[r|e] wir den physikalischen Raum zu deuten haben. | ✓ / \ |
Wie ist
aber die Analyse eines Satzes von der Form: “Der rote Fleck a liegt irgendwo
zwischen b und c[?|”]? Hier heisst es
nicht “dem Fleck a entspricht
eine der unendlich vielen Zahlen zwischen den Zahlen von b
und von c” (es handelt sich
nicht um eine Disjunktion). Es ist klar,
dass die unendliche Möglichkeit der Lagen
von a zwischen b und c in dem Satz nicht
ausgesprochen wird. Wie auch in dem Satze “ich habe ihn im Zimmer
eingesperrt” nicht irgendwie die
unendlich vielen Möglichkeiten der Stellung des Eingesperrten
im Zimmer eine Rolle spielt. | ✓ / \ |
Angenommen in einem Spiel lautete eine Spielregel: “Man schreibe einen Bruch auf, der
zwischen 0 und 1 liegt”. Ist
diese Regel nicht verständlich? Braucht hier eine
Grenze gegeben zu werden? Und wie wäre es mit der
Regel: “Man schreibe
eine Zahl auf grösser als
100”? Beide scheinen ganz
und gar verständlich. | ✓ / \ ✢ |
Der Satz,
dass einmal – in der unendlichen Zukunft
das Ereignis A eintreten wird, ist mit jeder Erfahrung
vereinbart.
D.h., dieser Satz sagt nichts.
Aber ist er dann nicht wenigstens auf der Stufe einer
Tautologie? Er ist in gewisser Beziehung einer
Taut.
ähnlich. | ✓ / \ |
Es hat Sinn zu sagen, dass
F zwischen 1 und 8 ist, weil diesen Zahlen Farbgrenzen im
Gesichtsfeld entsprechen. Hat es aber auch Sinn zu sagen,
F liegt z.B. zwischen 3 und 7 wenn
diesen Zahlen nichts im Gesichtsfeld entspricht? Ich
glaube nicht. | ✓ / \ |
Die Frage ist: Kann ich in einem Satz eine Bestimmung
offen lassen, ohne zugleich genau anzugeben, was die
offengelassenen Möglichkeiten sind? 44 | ✓ / \ |
Aber wenn ich immer nur endlich viele Dinge, Teilungen, Farben,
etc. sehe, dann gibt es eben überhaupt keine
Unendlichkeit; in keinem Sinne. Das Gefühl ist
hier: Wenn ich immer nur so wenige sehe, so gibt
überhaupt nicht mehr. Wie wenn der
Fall der wäre: Wenn ich nur 4 sehe, so gibt es
eben nicht 100. Aber die Unendlichkeit hat nicht den
Platz einer Zahl. Es ist ganz richtig: Wenn ich
nur 4 sehe, so gibt es nicht 100 und auch nicht 5. Aber
es gibt die unendliche Möglichkeit, die von einer kleinen Zahl
ebensowenig ausgefüllt wird, wie von einer
grossen. Und zwar
tatsächlich darum, weil sie selbst keine
Grösse ist. | ✓ / \ |
Wir wissen natürlich alle, was es
heisst, dass es eine
unendliche Möglichkeit und eine endliche Wirklichkeit gibt,
denn wir sagen, die Zeit und der physikalische Raum seien unendlich
aber wir könnten immer nur endliche Stücke von ihnen sehen
oderv durc durchleben.
Aber woher weiss ich dann überhaupt
etwas vom Unendlichen? Ich muss
also in irgendeinem Sinne zweierlei Erfahrungen haben:
Eine des Endlichen, die es nicht übersteigen kann
(diese Idee des Uebersteigens an sich ist
schon unsinnig) und eine des Unendlichen. Und so ist
es auch. Die Erfahrung als [e|E]rleben der
Tatsachen gibt mir das [e|E]ndliche; die
Gegenstände enthalten das Unendliche.
Natürlich nicht als eine mit der endlichen Erfahrung
konkurrierende Grösse, sondern
intentional. Nich Nicht als ob
ich den Raum sähe, der beinahe ganz leer ist und nur mit einer
ganz kleinen endlichen Erfahrung in ihm. Sondern ich
sehe im Raum die Möglichkeit für jede endliche
Erfahrung. D.h., keine Erfahrung kann
für ihn zu gross sein, oder ihn gerade
ausfüllen. Und zwar nicht etwa, weil wir alle
Erfahrungen ihrer Grösse nach kennen
und wissen, dass der Raum
grösser ist als sie, sondern wir
verstehen, dass das im Wesen des Raumes
liegt. – Dieses unendliche Wesen des Raumes erkennen
wir im kleinsten Stück. Das Unsinnige ist schon, dass man so ost denkt, es wäre eine grosse Zahl dem Unendlichen doch näher als eine kleine. Das Unendliche – wie gesagt – konkurriert mit dem Endlichen nicht. Es ist das, was wesentlich kein endliches ausschliesst. In diesem Satze haben wir das Wort “kein” und das darf wieder nicht als Ausdruck einer unendlichen Konjunktion verstanden werden, sondern “wesentlich kein” gehört zusammen. Es ist kein Wunder, dass ich die Unendlichkeit immer wieder nur durch sich selbst erklären kann, d.h. nicht erklären kann. | ✓ / \ |
Der Raum hat keine Ausdehnung, nur die
räumlichen Gegenstände sind ausgedehnt, aber die
Unendlich[m|k]eit ist eine Eigenschaft des Raumes.
(Das schon zeigt, dass sie keine unendliche Ausdehnung ist). Und dasselbe gilt von der Zeit. | ✓ / \ |
Wie ist es mit der unendlichen Teilbarkeit?
Denken wir daran, dass es einen Sinn
hat, zu sage[,|n], dass
jede endliche Zahl v[i|o]n Teilen denkbar
ist, aber keine unendliche; dass aber
darin die unendliche Teilbarkeit besteht!
Hier aber heisst nun “jede” nicht, dass die Gesamtheit aller Teilungen denkbar ist, (die ist es nicht[)|,] denn die gibt es nicht). Sondern die Varriable “Teilbarkeit” (d.i. den Begriff der Teilbarkeit) gibt es, die der wirklichen Teilbarkeit keine Grenzen zieht; und darin besteht ihre Unendlichkeit. 45 | ✓ / \ |
Wie aber
konstruieren wir eine unendliche Hypothese, etwa die, unendlich
vieler Fixsterne (dass sie
schliesslich nur einer endlichen
Realität entsprechen kann, ist klar) –?
Sie kann wieder nur durch ein Gesetz gegeben sein.
Denken wir an die unendliche Reihe roter Kugeln. –
Denken wir an einen unendlichen Filmstreifen.
(Er gäbe die Möglichkeit für alles Endliche was
auf der Leinwand geschieht.) Er ist der typische
Fall einer ins Unedliche greifenden
Hypothese. Es ist uns klar,
dass ihm keine Erfahrung
entspricht. Er existiert nur im “zweiten System”, also in der Sprache; Wie aber ist er hier
ausgedrückt? (Wenn sich ein Mensch einen
unendlichen Streifen vorstellen kann, dann gibt es
die unendliche Realität für ihn und auch das “eigentlich Unendliche” in der Mathematik). Er ist
ausgedrückt durch einen Satz der Art “(n):(Enx)
.Fx.
Alles was sich auf die unendliche Möglichkeit bezieht, also
alle unendlichen Aussagen über den Film, sind im Ausdruck der
ersten Klammer wiedergegeben und die Wirklichkeit die diese
Möglichkeit ein[y|s]chränkt, in der zweiten
Klammer. | ✓ / \ |
Was aber
hat dann die Teilbarkeit mit dem Geteiltsein zu tun, wenn etwas
teilbar sein kann, was nie geteilt
ist? Ja, was heisst in dem Pri primären Gegebenen überhaupt Teilbarkeit? Wie kann man hier zwischen Möglichkeit und Wirklichkeit unterscheiden? Es muss falsch sein, wie ich es tue, von der Einschränkung der unendlichen Möglichkeit auf das Endeliche zu reden. Denn so scheint es, als wäre eine un[d|e]ndliche Wirklichkeit denkbar – wenn auch nicht vorhanden, also doch wieder, als handelte es sich um eine mögliche unendliche Extension und eine [W|w]irkliche endliche. Als wäre die unendliche Möglichkeit die Möglichkeit einer unendlichen Anzahl. Und das zeigt wieder, dass wir es mit zwei verschiedenen Bedeutungen des Wortes “möglich” zu tun haben, wenn ich sage “die Strecke kann in 3 Teile geteilt werden” und andererseits “die Strecke ist unendlich teilbar”. (Darauf weist auch der obere Satz der bezweifelt, ob es im Gesichtsraum wirklich und möglich gibt.) Was [g|b]esagt es, dass ein Fleck im Gesichtsraum in 3 Teile geteilt werden kann? Es kann doch nur heissen, dass ein Satz, welcher einen derart geteilten Fleck beschreibt, Sinn hat. (Wenn es sich nicht um eine Verwech⌊s⌋lung der Teilbarkeit physischer Objekte mit der eines Flecks im Gesichtsraum handelt). Dagegen bedeutet die unendliche – oder besser unbegrenzte – Teilbarkeit nicht, dass es einen Satz gibt, der eine in undendlich viele Teile geteilte Strecke beschreibt, denn diesen Satz gibt es nicht. Dei Diese Möglichkeit wird also nicht durch eine Wirklichkeit der Zeichen angezeigt, sondern durch eine Möglichkeit anderer Art der Zeichen selbst. | ✓ / \ |
| ⌊⌊
Unendliche & endliche logische Möglichkeit ist in den
Regeln der Sprache ausgedrückt. ⌋⌋ |
Wenn man sagt: Der Raum ist unendlich teilbar, so
heisst das eigentlich: Der Raum
besteht nicht aus einzelnen Dingen (Teilen). | ✓ / \ |
Die unendliche Teilbarkeit bedeutet in gewissem Sinne,
dass der Raum unterteilbar ist,
dass eine Teilung ihn nicht
tangiert. Dass er damit nichts zu
tun hat: Er besteht nicht aus
Teilen. Er sagt gleichsam zur Wirklichkeit: Du kannst
in mir machen was Du willst. (Du kannst in mir so oft
geteilt sein als du willst). Der Raum gibt der Wirklichkeit eine unendliche Gelegenheit der Teilung. | ✓ / \ |
Und darum steht
in der ersten Klammer bloss ein
Buchstabe. Offenbar nur eine Gelegenheit, nichts
anderes. 46 | ✓ – |
Wir
denken viel zu wenig daran, dass das Zeichen
wirklich nicht mehr bedeuten kann, als es ist. als wir es bedeuten lassen. | ✓ / – |
Die unendliche Möglichkeit im Symbol bezieht
sich – d.h. deutet – nur auf das
Wesen der endlichen Extension und lässt
eben dadurch ihre Grösse offen.
| ✓ ? – |
Wenn ich sage: “Wenn
wir eine unendliche Extension kennten, so wäre es in Ordnung
über das eigentlich Unendliche zu reden”, ist das wirklich so, wie wenn ich sagte “wenn es den Sinn Abrakadabra gibt, dann ist es
in Ordnung von abrakadabrischen Sinneswahrnehmungen zu
reden. | ? ✓ – |
Wir sehen einen kontinuierlichen Farbübergang und eine
kontinuierliche Bewegung, aber dann sehen wir eben
keine Teile, keine Sprünge (nicht
unendlich viele[.|)]. | ✓ / \ |
Man könnte sagen “der
mathematische Satz ist eine Anweisung auf eine
Einsicht. Die
Annahme, das ihm keine Einsicht entspricht,
würde ihn zu einem vollkommenen Unsinn machen.
Wir können eine Gleichung nicht verstehen, wenn wir die Verbindung ihrer beiden Seiten nicht einsehen. | ✓ / \ |
Die
Unentscheidbarkeit setzt voraus,
dass zwischen den beiden Seitenˇ einer
Gleichung, sozusagen, eine unterirdische Verbindung besteht;
dass die Brücke nicht in Symbolen
geschlagen werden kann. Aber dennoch besteht:
Denn sonst wäre die Gleichung sinnlos. Denn
die Gleichung deutet eine Brücke an, die zwischen den
Symbolen geschlagen werden kann. | ✓ / \ |
Eine
Verbindung zwischen Symbolen, die besteht, sich aber nicht durch
symbolische Uebergänge darstellen
lässt, ist ein Gedanke, der sich nicht
denken lässt. Ist die
Verbindung da, so muss sie sich einsehen
lassen. | ✓ / \ |
Denn sie
besteht wie die Verbindung von Teilen des
Gesichtsraumes. Sie ist keine kausale
Verkettung. Der Uebergang ist
nicht durch eine dunkle Spekulation hergestellt von anderer Art als
das, was er verbindet. (Wie ein dunkler Gang zwischen
zwei lichten Orten). | ✓ / \ |
Wäre
freilich die Mathematik die Erfahrungswissenschaft von den unendlichen
Extensionen, die man nie ganz kennen kann, so wäre sehr
wohl eine prinzipiell unentscheidbare Frage denkbar.
| ✓ / \ |
|
Das
Verständnis der Vorschrift und ihrer praktischen Ausführung
hilft uns immer nur über endliche Strecken. Um eine
reelle Zahl zu bestimmen, muss sie in
sich vollkommen verständlich sein.
D.h., es darf nicht wesentlich unentschieden
sein, ob ein Teil von ihr zu entbehren wäre.
47
⌊⌊Wenn man namlich, starr darüber daß [e|E]iner von einer [Klasse| Reihe] redet die keinen Anfang hat sagt: gib uns um Gottes willen ein Beispiel einer solchen Reihe, so zieht er das von den Rationalen Zahlen heran. Aber wo ist hier die Klasse die keinen Anfang hat? Das Gleichnis vom Schnitt sollte doch |––|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–| | ✓ / \ |
Denn dann ist sie eben nicht klar gegeben, denn eine
Extension, die ihr aequi
äquivalent wäre, gibt es nicht und in sich ist sie
unbestimmt. II'
ginge dann auf Abenteuer aus in dem unendlichen Raum. | ✓ / \ ? ✢ |
Wenn Brouwer die
Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten bekämpft so
hat er recht, soweit es sich um ein Vorgehen handelt, das den Beweisen
empirischer Tatsachen analog ist. Ich kann in der
Mathematik nie etwas auf die Art beweisen:
Ich habe 2 Aepfel auf dem Tisch liegen
gesehen, jetzt ist nur 1 da, also hat er einen gegessen.
Man kann nämlich nicht mit der
Aus[ch|sc]hliessung gewisser
Möglichkeiten eine neue beweisen, die nicht mit der
Ausschliessung der andern identisch
wäre. D.h.,
non-p sagt nur
immer non-p aber nie
q. Es gibt nur ein
kontradiktorisches Gegenteil das durch reductio ad
absurdum der einen Möglichkeit bewiesen wird, aber nicht
ein contraires
Gegenteil, keine echte Alternative. So
dass aus non-non-p
ein neues synthetisches Urteil gewonnen würde.
Wären uns [a|A]ggregate der Mathematik
synthetisch gegeben, dann könnte man durch
Ausschliessung einesteils das
ni eines Teils das
Nichtausgeschlossene
| ✓ / \ |
Brouwer hat recht, wenn er sagt, dass
die Eigenschaften seiner Pendelzahl sich nic
nicht mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten vertragen.
Nur ist damit keine Besonderheit der Sätze von den
unendlichen Aggregaten aufgedeckt. Dem liegt vielmehr
zugrunde, dass die Logik zur
Voraussetzung hat, dass es nicht a
priori – also logisch – unmöglich sein darf, zu
erkennen, ob ein Satz wahr oder falsch ist. Ist
nämlich die Frage nach der Wahr- oder
Falschheit eines Satzes a priori unentscheidbar, dann
verliert der Satz dadurch seinen Sinn und eben dadurch
verlieren für ihn die Sätze der Logik ihre
Geltung. | ✓ / \ |
Wie überhaupt die ganze Betrachtungsweise,
dass ein Satz, weil er für ein Gebiet
in der Mathematik gilt nicht notwendig auch für ein anderes
gelten müsse, in der Mathematik gar nicht am Platz, ihrem
Wesen ganz entgegen ist. Obwohl die Autoren gerade
das für besonder subtil halten und entgegen den
Vorurteilen. | ✓ / \ |
Die Mathematik ist ganz durch die
pernitiöse mengentheoretische
Ausdrucksweise verseucht. Ein Beispiel
dafür ist es, dass man sagt, die
[g|G]erade bestehe aus Punkten. Die Gerade
ist ein Gesetz und besteht aus gar nichts. Die Gerade als
farbiger Strich im visuellen Raum kann aus kürzeren farbigen
Strichen bestehen (aber natürlich nicht aus
Punkten). Und dann wundert man sich
z.B. darüber, dass
“zwischen den überall
dich dicht liegenden rationalen
Punkten” noch die irrationalen Platz
haben! Was zeigt eine Konstruktion, wie die des
Punktes V2? Zeigt sie diesen Punkt, wie er
doch noch zwischen allen rationalen Punkten Platz hat?
Sie zeigt einfach, dass der durch die
Konstruktion erzeugte Punkt nicht rational
ist. Und was entspricht dieser Konstruktion und diesem Punkt in der Arithmetik? Etwa eine Zahl, die sich doch noch zwischen die rationalen Zahlen hineinzwängt? Ein Gesetz, das nicht vom Wesen der rationalen Zahl ist. | ✓ / \ |
Die
Erklärung des
Dedekind[s|']schen Schnittes tut so, als wäre sie anschaulich,
wenn nämlich gesagt wird: Es gibt nur 3
Fälle: entweder hat R ein letztes Glied, und
L kein erstes oder etc.. In
Wahrheit lässt sich keiner dieser
Fälle denken (oder vorstellen). außer in Fällen in welchen dann die Wörter Klasse,
erstes Glied, letztes Glied ˇwenn man näher zuschaut
gänzlich ihre vorgeblilich beibehaltene
alltägliche Bedeutung wechseln. | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Wenn man
nämlich, starr darüber daß Einer von einer Reihe redet
die keinen Anfang hat sagt: gib uns um
Gottes willen ein Beispiel einer solchen
Reihe, so zieht er das von den Rationalen Zahlen heran.
Aber wo ist hier die Klasse die keinen Anfang hat? Das
Gleichnis vom Schnitt sollte doch
|––|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–| 48 ⌋⌋ |
Das führt zur
Frage: Wie sehe ich, dass eine
gegebene Zahl kleiner ist, als eine andere gegebene, etwa,
dass 4 kleiner ist als 5, oder 36 als
42? Das
Grössenverhältnis für
die Ziffern 0 bis 9 muss festgelegt
werden. Das Weitere bestimmt eine Regel. | ✓ ? |
m n
| ✓ / \ ? |
nV2 müssen wir zuerst
einführen. Diese trägt die unendliche
Möglichkeit des n in sich. | ✓ ? |
Alle Beweise der Stetigkeit einer Funktion müssen sich auf
eine Leiter – ein Zahlensystem – beziehen. | ✓ – |
Denn wenn ich sage “für
jedes n gibt es ein d,
sodass di das die
Funktion kleiner macht als n”
so muss ich mich auf ein allgemeines
arithmetisches
Critärium beziehen,
das anzeigt, wann F(d) kleiner ist als
n. | ✓ – |
Es ist unmöglich,
dass, was bei der Ausrechnung der Funktion
wesentlich zu Tage tritt, nämlich die Zahlenleiter, in der
allgemeinen Betrachtung verschwinden dürfte | ✓ – |
Wenn das
Zahlensystem zum Wesen der Zahl gehört, dann kann es die
allgemeine Betrachtung nicht ausschalten. | ✓ / \ |
Und wenn
also die Notation des Zahlensystems das Wesen der Zahl spiegelt, so
muss dieses Wesentliche auch in die
allgemeine Notation eingehen. Damit erhält die
allgemeine Notation die Struktur der Zahlen. | ✓ / \ |
Wenn ich wesentlich keine Zahl hinschreiben kann ohne ein
Zahlensystem, so muss sich das (auch)
in der allgemeinen Behandlung der Zahl wiederzeigen. | ✓ / \ |
Das
Zahlensystem ist nicht etwas Minderwertiges – wie eine russische
Rechenmaschine – das nur für Volksschüler
Interesse hat, während die höhere, allgemeine
Betrachtung davon absehen kann. | ✓ / \ |
Was ist der Beweis der Beweisbarkeit? Er ist ein
anderer als der Beweis des Satzes. Und ist etwa der Beweis der Beweisbarkeit der Beweis, dass der Satz Sinn hat? Dann aber müsste dieser Beweis auf ganz anderen Prinzipien beruhen, als der Beweis des Satzes. Es kann keine Hiera[chie|rchi]e der Beweise geben! | ✓ / \ ◇ |
|
Andererseits kann es in keinem wesentlichen Sinne eine
Metamathematik geben. Alles
muss in einer Type (oder also in keiner
Type) liegen. ⌊⌊ Worin besteht der Beweis der Beweisbarkeit von 36 × 47 = 128? Was will ich als so einen Beweis gelten lassen? Wohl die Induktion die mir eine Windung der Spirale zeigt. Was ist der Beweis dafür, daß ich durch die Division 1 : 3 = einmal zur 100 Zahl 0˙33333 kommen werde wenn dieser Beweis nicht in der Ausrechnung selbst besteht. Denn wohlgemerkt: Schließlich muß ja doch der vollzogene Beweis auch als Beweis seiner Ausführbarkeit zugelassen werden. ⌋⌋ 49 | ✓ / \ |
Denken wir uns den Satz: “Für alle rationalen Zifferntrippel,
die ich in xn +
yn = 1 probieren kann, wird die
Gleichung” falsch”. Das ist ein sinnvoller Satz und
er ist ein im Endlichen
festgehalten. | ✓ / \ |
Es ist schwer sich von der extensiven Auffassung ganz frei zu
machen: So denkt man immer: “Ja, aber es muss
doch eine interne Beziehung zwischen x³ +
y³ und z³ bestehen, da doch die
Extension, wenn ich sie nur k[ö|e]nnte, das Resultat
einer solchen Beziehung darstellen
müsste”. Etwa: “Es müssen doch entweder
wesentlich alle n die Eigenschaft
haben oder nicht, da doch alle n die
Eigenschaft haben oder nicht, wenn ich das auch nicht wissen
kann. | ✓ / \ |
Wenn man den Menschen lehrt, einen Schritt zu machen, so gibt man
ihm damit die Möglichkeit irgend eine Strecke zu
gehen. | ✓ / \ |
Ist es nun möglich, zu zeigen, dass
die Grundregeln für einen Satz relevant sind
(d.h. ihn oder sein Gegenteil beweisen)
ohne sie wirklich bis an ihn heran zu bringen.
D.h., wissen wir es erst, wenn wir dort sind
oder ist es möglich es schon früher zu wissen.
Und ist dafür die Möglichkeit der
Ueberprüfung von
36
× ◇
36 × 47 =
128 ein Beweis? Es hat offenbar einen Sinn zu
sagen: “Ich
weiss, wie man das
überprüft” noch ehe man es
überprüft hat. | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Worin besteht der Beweis der Beweisbarkeit von
36 × 47 =
128? Was will ich als so einen Beweis gelten lassen? Wohl die Induktion die mir eine Windung der Spirale zeigt. Was ist der Beweis dafür, daß ich durch die Division 1 : 3 = einmal zur Zahl 0˙33333 kommen werde wenn dieser Beweis nicht in der Ausrechnung selbst besteht. Denn wohlgemerkt: Schließlich muß ja doch der vollzogene Beweis auch als Beweis seiner Ausführbarkeit zugelassen werden. ⌋⌋ |
Man
könnte auch fragen: Wie geht denn jener
Prozess vor sich, wenn wir noch gar keine
Ahnung haben, wie ein gewisser Satz zu beweisen ist und nun doch
fragen: “Lässt er
sich beweisen, oder nicht” und nach dem
Beweis für ihn ausschauen. Wenn wir “versuchen ihn zu
beweisen”, was tun wir da?
Ist es wesentlich ein Suchen ohne jedes innere System, also
eigentlich kein Suchen, oder kann irgend ein Plan
vorhanden sein? Die Antwort auf diese Frage ist
ein Fingerzeig, o dafür, ob der noch
unbewiesene – oder noch unbeweisbare – Satz sinnlos
ist oder nicht. Denn in einem sehr bedeutungsvollen
Sinn muss jeder sinnvolle Satz durch seinen
Sinn uns anweisen, wie wir uns davon überzeugen sollen, ob er
wahr oder falsch ist. “Jeder Satz sagt, was der
Fal Fall ist, wenn er wahr
ist. Und dieses
“was der Fall ist” muss sich beim
mathematischeschen Satz auf die Art und Weise seines
Beweises beziehen. Dagegen nämlich kann man nicht
den Sinn, den man nicht kennt, logisch
planvoll suchen. Der Sinn
müsste eine
einem sozusagen geoffenbart werden und zwar von
aussen, – da er aus dem Satzzeichen
allein nicht zu entnehmen ist – im Gegensatz zur Wahrheit, die
uns der Satz selbst suchen, und mit ihm vergleichen
lehrt. | ✓ / \ |
Das kommt darauf
hinaus zu fragen: Ist durch den allgemeinen mathematischen
Satz etwas bis auf Ja und Nein festgelegt?
(Nämlich eben ein Sinn). | ✓ ? |
Wo man fragen kann, kann man auch suchen,
und wo man nicht suchen kann, kann man auch nicht fragen.
Und natürlich auch nicht antworten. | ✓ / \ |
Meine Erklärung darf nicht das mathematische
Problem aus der Welt schaffen.
D.h. es ist nicht so,
dass ein mathematischer Satz erst dann
gewiss einen Sinn hat, wenn er (oder
sein Gegenteil) bewiesen worden ist. (In diesem Falle
hätte hätte nämlich sein Gegenteil nie
Sinn (Weyl))
andererseits könnte es sein, dass gewisse
scheinbare Probleme den Charakter des Problems – der Frage
nach Ja und Nein – verlieren. 50 | ✓ ? |
Ist es so,
dass ich zu jedem Schritt eines Beweises eine
frische Intuition brauche? Das hängt mit der
Frage der Ind[u|i]vidualität der Zahlen
zusammen. Es wäre etwa so:
Angenommen eine gewisse allgemeine Regel, in der also eine
Variable vorkommt, so muss ich immer von
neuem erkennen, dass diese Regel
hier angewendet werden kann. Kein Akt der
Voraussicht kann mir diesen Akt der Einsicht
ersparen. Denn tatsächlich ist die Form, auf die
die Regel angewandt wird, bei jedem Schritte eine andere.
Akte der Entscheidung, nicht der
Einsicht | ✓ – |
Der Beweis der Relevan[t|z] wäre ein
Beweis der noch mehr nicht den Satz ergeben
würde. ‒ ‒ ‒ Und eben das könnte so einen
Beweis möglich machen. Er würde die Leiter
nicht hinaufsteigen, denn dazu
muss man jede Stufe nehmen; sondern nur
zeigen, dass die Leiter in dieser
Richtung führt. D.h.:
Es gibt keinen Ersatz für das Durchlaufen jeder Stufe,
und was dem äquivalent ist, muss wieder
dieselbe Mannigfaltigkeit haben. (In der Logik
gibt es kein Surrogat.) Es ist auch der Pfeil kein
Surrogat des Durchschreitens aller Stufen bis zum bestimmten
Ziel. Das hängt auch mit der
Unmöglichkeit einer Hierarchie von Beweisen
zusammen. | ✓ / \ |
Würde nicht der Gedanke einer Hierarchie besagen,
dass der blossen
Fragestellung schon ein Beweis vorhergehen
muss, nämlich der Beweis des
Sinnes. Dann aber, sage ich,
muss der Beweis des Sinnes radikal
verschiedener Natur vom Beweis der Wahrheit sein, sonst setzt
dieser Beweis wieder einen voraus und wir kommen in einen endlosen
Regress. | ✓ / \ |
Hat die Frage nach der Relevanz einen Sinn? Wenn
ja, so muss man
| ✓ / \ |
Was uns,
abgesehen vom angeblichen Beweis
Fermat's, dazu treibt, uns mit der Formel
xn + yn =
zn …(F) zu beschäftigen, ist die
Tatsache, dass man nie auf
Cardinalzahlen
gestossen ist, die der Gleichung genügen;
aber das gibt dem allgemeinen Satz keinerlei
Stütze (Wahrscheinlichkeit) und ist also kein guter Grund
zur Beschäftigung mit dieser Formel.
Wohl aber kann man sie einfach als Schreibweise einer bestimmten
allgemeinen Form ansehen und sich fragen, ob sich die Syntax in
irgend einer Weise mit dieser Form
beschäftigt. | ✓ / \ |
Ich sagte: Wo man nicht suchen kann, da kann man
auch nicht fragen, und d.h.: Wo
es keine logische Methode des Findens gibt, da kann auch die Frage
keinen Sinn haben. | ✓ / \ |
Nur wo
eine Methode der Lösung ist, ist ein Problem
(d.h. natürlich nicht “nur wo die Lösung gefunden ist, ist ein
Problem”). (Das
fixiert wieder nur die Grammatik des Wortes „Problem”) | ✓ / \ |
D.h. dort wo die Lösung nur von einer
Art Offenbarung erwartet werden kann, ist auch kein
Problem. Einer Offenbarung entspricht keine Frage.
| ✓ / \ |
/ \ |
Däs ist so, wie wenn man nach den
Erfahrungen eines Sinnes fragen wollte, den man noch nicht
hat. Uns einen neuen Sinn geben, das würde ich
Offenbarung nennen. ⌊⌊ ⌋⌋ 51 | ✓ / \ |
Man kann auch
nicht nach einem neuen Sinn (Sinneswahrnehmung)
suchen (Grammatik d. W. „suchen). | / \ |
| ⌊⌊ Wie wird
25 × 25 =
625 bewiesen? Wie sein Gegenteil? – Dieser Satz kann kontrolliert werden nach einem
bestimmten System. Soll ich mir nun beim
Fermatschen Satz eine
ähnliche Kontrolle denken? ⌋⌋ |
| ⌊⌊ Alles das hängt mit der
Dirichletschen
Auffassung der Funktion zusammen die das Gesetz als das
nebensächliche Erzeugungsmittel einer Zuordnung
auffaßt. ⌋⌋ |
| ⌊⌊
„N hat mir eine
Zahl genannt” Wir sagen das Gegenteil des Fermatschen Satzes kann durch Auffindung eines bestimmten Zahlentrippels bewiesen werden. Der Satz selbst aber nicht durch das Nichtfinden eines solchen Trippels sondern durch einen Beweis den wir nicht kennen. ⌋⌋ |
Die Frage taucht wieder auf: Inwiefern
kann man einen mathematischen Satz
behaupten? Das
hiesse nämlich nichts,
dass ich ihn nur dann behaupten kann, wenn
er richtig ist. – Sondern behaupten
können muss ich auf den Sinn hin, nicht
auf die Wahrheit hin. Es scheint mir, wie schon gesagt,
klar zu sein, dass ich den allgemeinen
Satz so sehr oder so wenig behaupten kann, wie die Gleichung
3 × 3 =
9 oder auch
3 × 3 =
11. | ✓ / \ ✢ |
Es ist beinahe unglaublich, wie ein Problem durch die falschen
Ausdrucksweisen, die Generation auf Generation rundherum stellt,
gänzlich, auf Meilen, blockiert wird,
sodass es beinahe unmöglich wird,
dazuzukommen. | ✓ / \ |
Was das Verständnis erschwert, ist die falsche Auffassung, als
wäre die allgemeine Lösungsmethode nur ein
– nebensächliches – Hilfsmittel zum Erhalten von
Zahlen, die die Gleichung befriedigen. Während sie
an sich ein Aufschluss über das Wesen
(die Natur) der Gleichung ist. Sie ist –
wieder – kein nebensächliches Hilfsmittel zum Finden
einer Extension, sondern Selbstzweck. | ✓ / \ |
Welche Fragen kann man bezüglich einer Form
z.B.
Keiner dieser Fälle darf sich empirisch, also extensiv, prüfen lassen. | ✓ |
Auch die zwei letzten nicht,
denn, dass z.B.
“x² =
4” erlaubt, sehe ich aus
7² =
4 nicht weniger als aus 2² = 4, und,
dass x² = ‒ 4 verboten
ist, zeigt sich mir 2² ≠ ‒ 4 nicht anders
als 8² ≠
‒ 4. D.h. ich sehe hier
im Einzelfall doch wieder nur die Regel. | ✓ |
Die
Frage: “Wird die
Gleichung von orgendwelchen Zahlen
befreidigt”, hat
keinen Sinn, ebensowenig wie der Satz “sie wird von Zahlen
befriedigt” und ebensowenig,
natürlich, wie die Behauptung “sie wird von allen Zahlen – oder von keiner
Zahl – befriedigt”.
(Wie findest Du die Antwort? dann werde ich wissen
was die Frage hieß.) | ✓ |
Das
Wichtige ist, dass ich auch dann, wenn mir
3² + 4²
= 5² gegeben ist, nicht sagen darf
“(Ex,y,z, n).xn
+ yn =
zn, denn
extensiv heisst es nichts und
intentional ist es dadurch nicht bewiesen. Sondern
ich darf dann eben nur die erst erste
Gleichung aussprechen. | ✓ |
Es ist klar, ich
kann nur dort den allgemeinen Satz (mit der allgemeinen
Konstante⌊n⌋) hinschreiben, wo er
den Satz
25 × 25 =
625 analog ist und da◇s ist, wo ich
die Rechnungsregeln für a und b ebenso kenne,
wie die Rechnungsregeln für 6, 2, und 5. Das
illustriert ganz was es heisst,
dass a und b hier Konstante
sind. Konstante Formen nämlich. | ✓ |
Ist es so: Ich
kann das Wort “er⌊-⌋gibt” nicht anwenden, so lange ich keine Methode
52
der Lösung kenne, weil ergibt eine Struktur
bedeutet, die ich nicht, ohne sie zu kennen, bezeichnen
kann. Weil die Struktur dargestellt
werden muss. Ich
kenne die Grammatik des Wortes ergibt nicht. | ✓ |
Jeder Satz ist die Anweisung auf eine
Veri[v|f]ikation. | ✓ |
Wenn
| ✓ / \ |
Ich habe hier nichts anderes als den alten Fall,
dass ich nicht sagen kann, 2
Complexe stü[m|n]den in einer
Relation, ohne die Relation logisch abzubilden. | ✓ / \ |
“Die Gleichung ergibt
a”
heisst, wenn ich die Gleichung nach gewissen
Regeln transformiere, erhalte ich a, so wie die Gleichung
25 × 25 =
620 besagt, dass ich 620 erhalte,
wenn ich auf 25 × 25 die
Multiplikationsregeln anwende. Aber diese Regeln
müssen mir schon gegeben sein, ehe das Wort “ergibt” Bedeutung
hat und ehe die Frage einen Sinn hat, ob die Gleichung a
ergibt. | ✓ / \ |
Der Fermat'sche Satz hat also keinen Sinn, solange ich nach
der Auflösung der Gleichung durch
Cardinalzahlen nicht suchen
kann. Und “suchen” muss immer heissen: Systematisch suchen. Es ist kein suchen, wenn ich im unendlichen Raum nach einem Goldring umherirre. | ✓ / \ |
An unserer Schwierigkeit ist
grösstenteils die falsche Auffassung der
Variablen schuld, nämlich die Auffassung, als
vertrete sie Zahlen (die
extensive Auffassung), wärend sie nichts
vertritt sondern ist was sie ist. Verträte sie
Zahlen, dann brauchte allerdings nur
5³ + 7³
= 9³ Sinn haben und der Sinn der
allgeiegemeinen Sätze über die
F[i|o]rm F folgte daraus. Aber da die
Variable autonom ist, so hat der Satz mit ihr erst dann Sinn, wenn
er nach seinen eigenen Prinzipien kontrollierbar istm
wie Zahlengleichung nach dem ihren. Das Wort “Variable” ist zu ersetzen durch das Wort “Zahlform”. Und diese Form ist ebenso konstant, wie die Zahl 4. | ✓ / \ |
Es genügt also nicht zu sagen p ist beweisbar, sondern es
muss heissen:
Beweisbar nach einem bestimmten System. | ✓ / \ |
Und zwar behauptet der Satz nicht, p sei beweisbar nach dem System
S, sondern nach seinem Sy[ts|st]em,
dem System von p. Dass
p dem System S
angehört, das lässt sich
ni[v|c]ht behaupten, das muss sich
zeigen. | ✓ / \ |
|
Man kann nicht sagen p gehört zum System
S; man kann nicht fragen, zu welchem System
[P|p] gehört; man kann nicht das System von
p suchen.
p verstehen
heisst, sein System verstehen.
Tritt p scheinbar von einem System in
das andere über, so hat in Wirklichkeit
p seinen Sinn
gewechselt. ⌊⌊ Ich könnte sagen die Frage nach der Möglichkeit der 3 Teilg hat erst dort Sinn wo Eine Frage nach der [3|Mö]glichkeit der 3 Teilg gibt es erst dort in einem System, worin sowohl von der Möglichkeit als auch von der Unmöglichkeit geredet werden kann. ⌋⌋ ⌊⌊ Ich
Welcher Art ist der Satz „die 3-Teilung ˇmit Zirkel & Lineal ist unmöglich”? ◇◇◇ Doch wohl von der selben wie: In der Reihe der Winkelteilungen F(n) kommt keine F(3) wie in der Reihe der Combinationszahlen keine 4. Aber welcher Art ist dieser Satz? Von der des Satzes: In der Reihe der Kardinalzahlen kommt
53 | ✓ / \ |
|
Wie heißt die Reihe der Teilungen mit Zirkel &
Lineal Wie heißt die Reihe der
Kombinationszahlen |
Ich brauche k[e|a]um zu sagen,
dass dort, wo der Satz des ausgeschlossenen
Dritten nicht gilt, auch kein anderer Satz der Logik gilt, weil wir
es dort nicht mit Sätzen der Mathematik zu tun haben.
(Dagegen Weyl und
Brouwer) | ✓ / \ |
Würde denn aus allem dem Allen nicht
das Paradox folgen: dass es in der
Mathematik keine schweren Probleme gibt, weil, was schwer ist,
kein Problem ist? Ganz so ist es aber nicht: Die schwierigen Probleme der Mathematik sind die, für deren Lösung wir noch kein geschriebenes Sy[t|s]tem besitzen. Der suchende Mathematiker hat dann ein System in irgendwelchen psychischen Symbolen, Vorstellungen, “im Kopf” und trachtet es aufs Papier zu bringen. Hat er das getan, so ist das Uebrige leicht. Hat er aber kein System, weder in geschriebenen noch in ungeschriebenen Symbolen, dann kann er auch nicht nach einer Lösung suchen, sondern höchstens herumtappen. – Nun kann man allerdings auch durch planloses Tasten etwas finden. Dann hat man es aber nicht gesucht und das Verfahren, logisch betrachtet, war synthetisch; während Suchen ein analytischer Prozess ist. | ✓ / \ |
Was man anfassen kann, ist ein Problem. | ✓ – / \ |
Nur
wo ein Problem sein kann, kann etwas behauptet werden!
(das ist eine Erklärung des Wortes „behaupten”) | / \ |
Kenne ich
die Regeln der elementaren Trigonometrie, so kann ich den Satz
sin 2x = 2sin
x. cos x kontrollieren aber nicht den Satz
sin x = x ‒
| ✓ / \ |
Die beiden Sätze stehen gleichsam auf 2 verschiedenen
Ebenen. In der ersten kann ich mich bewegen so weit ich
will, ich werde nie zu dem Satz der höheren Trigonometrie
kommen.
¥• | ✓ / \ |
Ist es nun eine richtige Frage, ob die Dreiteilung des Winkels
möglich ist? Und welcher Art ist der Satz und
sein Beweis, dass sie mit Zirkel und
Lineal nicht möglich ist? | ✓ / \ |
Man könnte sagen: Da sie nicht
möglich ist, konnte man auch nie nach ihr suchen. | ✓ / \ |
|
⍈↺ Solange ich nicht
das grosse System
sehe besitze [ konstruiert habe ] , das beide
umfasst, kann ich das höhere Problem
nicht zu lös[d|e]n trachten.
|
Ich kann erst dann fragen, ob der Winkel mit Lineal
und Zirkel dreigeteilt werden kann, wenn ich das System “Zirkel und Lineal” in ein grösseres eingebettet
sehe, worin das Problem lösbar ist; oder vielmehr, worin
das Problem ein Problem ist, worin diese Frage einen Sinn
hat. | ✓ / \ ? |
| ⌊⌊ Dann
kann ich auch sagen: Ich kann erst dann fragen ob die
Division von 2 : 3 im System der Kardinalzahlen
ausführbar ist wenn ich dieses System in ein größeres
einbette etc. Eine Frage nach der
Möglichkeit der 3 Teilung gibt es erst in einem System, worin
sowohl von der Möglichkeit als auch von der Unmöglichkeit
geredet werden kann. ⌋⌋ |
| ⌊⌊
Ich will wollte sagen: ich habe im
kleinen System noch gar keinen Ausdruck kein Wort
für „3
Teilung” eben weil sie
unmöglich ist (denn die Unmöglichkeit besteht
ja darin daß es unsinnig ist von der 3 Teilung in dieser Sprache zu
reden). ⌋⌋ |
|
⌊⌊Hier ist es auch wieder bemerkenswert, was wir einen Beweis
nennen nämlich der Beweis der Unmöglichkeit der 3
Teilung. Welcher Art ist der Satz „die 3-Teilung mit Zirkel & Lineal
ist unmöglich”? Doch
wohl von der selben wie: In der Reihe der
Winkelteilungen F(n) kommt keine
F(3) wie in der Reihe der
Kombinationszahlen keine 4. Aber welcher Art ist
dieser Satz? Von der des Satzes: In der Reihe der Kardinalzahlen kommt
Warum [n|n]ennt man diesen Beweis den Beweis dieses Satzes? Der Satz ist ja kein Name sondern gehört ˇimmer einem Sprachsystem an: Wenn ich sagen kann „es gibt eine 3 Teilung” so kann ich sagen „es gibt eine 4 Teilung” etc. etc. Und ist B ein Beweis des ersten Satzes (ein Teil seiner Syntax) so muß es also entsprechende Beweise für die andern Sätze des ˇSatzSystems geben denn sonst gehören sie nicht zum selben System. 54 ⌋⌋ |
Das zeigt sich auch darin, dass man zum
Beweis der Unmöglichkeit aus dem
euklydis
euklidischen System heraustreten
muss. | ✓ / \ |
Ein System ist sozusagen eine Welt. | ✓ / \ |
Ein System kann man also nicht suchen.
Wohl aber den Ausdruck für ein System, das mir in
ungeschriebenen Symbolen gegeben ist. | ✓ / \ |
Der Schüler dem das Rüstzeug der
elementaren Trigonometrie zur Verfügung stünde und von dem
die Ueberprüfung der Gleichung
sin x =
x verlangt würde, fände das, was er zur
Bewältigung dieser Aufgabe braucht eben nicht vor.
Wenn der Lehrer dennoch die Lösung von ihm erwartet, so
setzt er voraus, dass die Mannigfaltigkeit der
Sy[h|n]tax, die diese Lösung voraussetzt,
irgendwie in anderer Form im Kopf des Schülers vorhanden
ist. Und zwar so, dass der
Schüler dem Symbolismus der elementaren Trigonometrie als
einen Teil jenes Ungeschriebenen sieht und nun das
Uebrige aus dem ungeschriebenen in
einen geschriebenen übersetzt. | ✓ / \ |
Das System von Regeln, welche einen
Calcül bestimmen,
bestimmt damit auch die “Bedeutung” seiner
Zeichen. Richtiger ausgedrückt: Die Form
und die syntaktischen Regeln sind äquivalent.
Aendere ich also die Regeln –
ergänze ich sie etwa scheinbar – so ändere ich die
Form, die Bedeutung. | ✓ / \ |
Die
Grenzen meiner Welt kann ich nicht ziehen, wohl aber Grenzen innerhalb
meiner Welt. Ich kann nicht fragen, ob der Satz
p zum System S
gehört, wohl aber ob er zum Teil s von S
gehört. Ich kann also dem Problem der
Aufgabe der Dreiteilung des Winkels im
grossen System seinen
ihren Platz bestimmen, aber nicht im
euklidischen System danach fragen,
ob es sie lösbar
ist. In welcher Sprache sollte ich denn
darnach fragen? In der euklidischen? – Und ebensowenig kann
ich in der euklidischen Sprache nach
der Möglichkeit der Zweiteilung des Winkels im
euklidischen System fragen.
Denn das würde in dieser Sprache auf eine Frage nach
der Möglichkeit schlechthin hinauslaufen und diese Frage ist
immer Unsinn. | ✓ / \ |
(Hier liegt aber nichts vor, was wir als eine
Hierarchie von Typen bezeichnen dürften.)
| ✓ / \ |
Man kann in der Mathematik nicht allgemein von Systemen, sondern
nur in Systemmen reden. Sie
sind gerade das, wovon man nicht reden kann. Also auch das,
was man nicht suchen kann. | ✓ / \ |
Der Schüler, der den Apparat zur Beantwortung
der zweiten Frage nicht hat, kann sie nicht nur, nicht beantworten,
sondern, er kann sie auch nicht verstehen.
[(Es| (Das] wäre ähnlich wie die
Aufgabe, die der Fürst im Märchen dem Schmid stellt, ihm
einen “Klamank” zu bringen). | ✓ / \ |
Jeder rechtmässige Satz
der Mathematik [,|m]uss wie der
Satz 12 × 13 =
137 an sein Problem die Leiter anlegen – die ich dann
hinaufsteigen kann, wenn ich will. Das gilt von Sätzen aller Art der Allgemeinheit. (NB. Eine Leiter mit “unendlich vielen” Sprossen gibt es nicht). 55 | ✓ / \ |
Dass es einen
Prozess der Lösung gibt, kann man nicht
behaupten. Denn gäbe es den nicht, so wäre die
Gleichung als allgemeiner Satz unsinnig.
Man kann alles behaupten, was sich durch die Tat konkt kontrollieren lässt. | ✓ ? |
Es handelt
sich um die Möglichkeit der Kontrolle.
| ✓ |
x² +
| ✓ ? |
Wenn in der Logik eine Frage 1.)
allgemein und 2.) im besondern beantwortet werden
kann, dann muss sich die besondere
Beantwortung immer als ein Sonderfall der
[A|a]llgemeinen ausweisen; oder anders:
Der allgemeine Fall muss immer schon
den besonderen als Möglichkeit in sich
tragen. Ein Fall hievon ist die Berechnung des Limes mit d und n, die das Zahlensystem der besonderen Ausrechnung in sich tragen muss. Die allgemeine und die besondere Form müssen auf bestimmte Weise ineinander übersetzbar sein. | ✓ / \ |
Wenn ich (Ex),x² =
2x schreibe und (Ex) nicht
extensiv verstehe, so kann es nur behaupten: “Wenn ich die Regeln der Lösung
anwende, so komme ich zu einer bestimmten Zahl, im Gegensatz zu
dem Falle, wo ich zu einer Identität oder einer verbotenen
Gleichung komme.
| ✓ ? |
Wie ist die rein technische Verifikation von
(x) : x² =
2x.C.x = 0. V .x = 2
Ich rechne x aus einer Gleichung aus, setze den Wert überall ein und muss dann einen wahren Satz erhalten. | ✓ ? |
Ergibt also die
blosse Transformation von “x² =
2x” den Satz “x = 0. V .x =
2”? | ✓ ? |
Gibt “x² =
+ 4”, “x =
+ 2. V .x =
‒ 2”?
D.h. sind die Wahrheitsfunktionen
nötig? Oder auch: Liefert die
Tra[h|n]sformation nach den Regeln die beiden Gleichungen
in der Verknüpfung “x =
+ 2. V .x =
‒ 2”? | ✓ ? |
Was aber will das “(x)” in “(x):x² =
2x:C:x = 0. V .x =
2”? (Es
wäre lächerlich, es extensiv aufzufassen) Ist es
eine allgemeine Konstante?
Dass der Satz, der bei der Ausrechnung herauskommt, wahr ist, lässt sich wieder rein technisch durch Ersetzungsregeln zeigen. Dann ist also auch hier das x eine allgemeine Konstante. | ✓ ? |
Aber was ist
den die Verifikation von
(Ex).x² =
2x? Ich meine die spezifische
Verification dieses Satzes, im Gegensatz
zur Verifikation von “(x):x² =
2x:C:x = 2. V .x =
0”. Denn
muss nicht der andere Satz –
d.h., der andere Sinn – auch
anders verifiziert werden? Etwa, der
allgemeinere, allgemeiner. | ✓ ? |
Ich könnte Zahlengleichungen und Buchstabengleichungen dahin
zusammenfassen: Die Tra[h|n]sformation der
linken Seite nach den Regeln liefert die rechte Seite, oder
nicht. 56
Dazu
müssen aber die beiden Seiten der Gleichung
(NB. der allgemeinen) sozusagen
commensurabel sein. | ✓ / \ ? ✓ / \ |
Weil die Zahlengleichung
F(5) = G(3)
commensurable Seiten hat, folgt nicht,
dass F(a) = (G
G(b) commensurable Seiten haben
muss. Denn für a und
b gelten andere Rechnungsregeln, als für 3 und
5. | ✓ ? |
Die
Classifikationen,
[d|D]ie
Ph[y|i]los[i|o]phen und Psychologen
machen sind so, wie wenn man klassifizieren
Wolken nach ihrer Gestalt. klassifizieren
wollte. | ✓ |
Ein mathematischer Satz sagt immer das, was sein Beweis
beweist. D.h. er sagt nie mehr,
als sein Beweis beweist. | ✓ / \ |
Hätte ich eine
Methode, Gleichungen die eine Lösung haben von solchen zu
scheiden, die keine haben, dann hätte mit Bezug auf diese
Methode der Ausdruck “ “(Ex).x² =
2x” Sinn. | ✓ ? |
Ich kann fragen “welche
Lösung hat die Gleichung x² =
2x, aber ich
kann nicht fragen “hat sie eine
Lösung”. Denn wie
würde das aussehen, wenn sie keine hätte?
Erst wenn ich weiss, was der Fall ist, wenn
ein Satz falsch ist, hat er einen Sinn. – Wenn nun
aber h jener andere Fall, etwa der der Gleichung
“(Ex).x² ‒ 2x ‒ (x ‒ 2) =
0” wäre?
Dann hätte der Satz (Ex).x² =
2x allerdings Sinn und sein Beweis wäre,
dass die Regeln es nicht gestatten, die
Seiten gegeneinander zu kürzen. Auf die Frage
“gibt es eine Lösung der
Gleichung xn + axⁿ⁻¹ +
… + z =
0?” kann man immer
fragen “im Gegensatz
wozu?”. | ✓ ? |
25 × 25 =
625 Worin besteht hier das System, das mir die
Commensurabilität zeigt?
Doch wohl darin, dass mir die Multiplikation zweier in dieser Form hingeschriebener Zahlen nach der Regel immer wieder eine Zahl in derselben Form liefert. und eine Regel für zwei Zahlzeichen dieser Form entscheidet, ob sie dieselbe oder verschiedene Zahlen bezeichnen. | ✓ / \ |
Man
könnte diese Auffassung auch so charakterisieren: Es
ist unmöglich Entdeckungen neuartiger Regeln zu machen, die
von einer uns bekannten Form gelten. Sind es neue
Regeln, so ist es nicht die alte F[i|o]rm. Das
Gebäude der Regeln muss
vollständig sein, wenn wir überhaupt mit einem Begriff
arbeiten wollen. – Man kann keine
Entdeckungen in der Syntax machen. –
Denn erst die Gruppe von Regeln bestimmt den Sinn
unserer Zeichen und jede Aenderung
(z.B. Ergänzung) der Regeln bedeutet
eine Aenderung des Sinnes.
Ebenso wie man die Merkmale eines Begriffes nicht ändern kann, ohne ihn zu ändern. (Frege). | ✓ / \ |
Ein System ist eine
Formenreihe und die Iterationen, die
successive ihre Glieder erzeugen, sind eben
in den Regeln beschrieben. | ✓ ? |
Der Gegensatz zu “es ist
notwendig, dass
p für alle Zahlen
gilt” ist allerdings “es ist nicht notwendig,
dass …”
und nicht “es ist notwendig,
dass nicht …”. 57 Aber nun denkt man:
Wenn es nicht notwendig ist,
dass es für alle Zahlen gilt, so ist
es doch möglich. Aber hier liegt der Fehler, denn man
sieht nicht, dass man in die extensive
Auffassung geraten ist: Der Satz “es ist möglich – wenn auch nicht
notwendig – dass
p für alle Zahlen gilt” ist unsinnig. Denn “notwendig” und “alle” gehören in der Mathematik zusammen (Solange
man diese Ausdrucksweise [j|n]icht überhaupt durch
eine weniger irreführende ersetzt.) | ✓ / \ ? |
Was kann denn (x).x² ≠
‒ 1 bedeuten? Es kann doch nicht sagen,
dass sämtliche Quadrate ungleich
‒ 1
sind. | ✓ ? – |
Man könnte
auch so fragen: Wie habe ich die
Beschreibung “die
Lösung der Gleichung x² =
2x” in mathematischen
Symbolen auszudrücken? | ✓ ? |
Meine Schwierigkeit ist die: Wenn ich im Gebiet der
reellen, [R|r]ationalen, oder ganzen Zahlen Gleichungen
nach den Regeln löse, so komme ich in gewissen Fällen auf
scheinbaren Unsinn. Wenn das nun eintritt; Soll ich
sagen, es ist damit bewiesen, dass die
ursprüngliche Gleichung unsinnig war? So
dass ich also erst nach beendeter Anwendung
der Regeln sehen könnte, ob sie unsinnig war oder Sinn
hatte?! Muss es nicht
vielmehr so heissen: Das
Resultat der scheinbar unsinnigen Gleichung zeigt doch
etwas über die allgemeine Form und bringt die verbotene Gleichung
mit solchem die eine normale
Lösung haben sehr wohl in Verbindung. Die Lösung
zeigt doch immer die Distanz der abnormalen zur normalen
Lösung. Wenn z.B.
√‒1 herauskommt, so
weiss ich,
dass V ‒ 1 ÷ 1
schon eine normale Wurzel wäre. Die Kontinuität,
die Verbindung mit der normalen Lösung, ist nicht
abgebrochen. Würde das bedeuten,
dass unser im Begriff der
reellen Zahlen, wie wir ihn durch unseren Symbolismus und seine Regeln
darstellen, der Begriff der immaginären bereits
präsuponiert ist? Das käme etwa darauf hinaus von der Geraden g zu sagen, sie ist vom Schnitt mit dem Kreis um a entfernt, statt einfach zu sagen, sie schneidet ihn nicht. Man könnte sagen “sie schneidet ihn um einen gewissen Betrag nicht” und würde dadurch die Kontinuität mit dem normalen Schnitt darstellen. “Sie verfehlt ihn um einen bestimmten Betrag”. | ✓ – |
Es gibt keine Zahl ausserhalb
eines Systems. | ✓ / \ |
“a + (b + c)
=
(a + b) + c” … [C|A](c) kann als Grundregel eines
Systems aufgefasst werden, als solche kann
man es nur vorschreiben, aber nicht behaupten, oder
verneinen (also kein Gesetz des ausgeschlossenen
Dritten). Nun kann ich den Satz aber scheinbar
auch als Resultat eines Beweises ansehen. Hat dieser Beweis
eine Frage beantwortet und welche? Hat er eine
Behauptung als wahr erwiesen und also ihr Gegenteil als
falsch? Da scheint es nun aber, dass ich den Satz, in dem Sinne, in dem er Grundregel eines Systems ist, gar nicht beweisen kann. Ich beweise vielmehr etwas über ihn. | / \ |
Und wirklich, ich
beweise nur aus A(c),
A(c + 1) und das ist nun
allerdings für die Anwendung des Satzes von
grosser Bedeutung. Aber der Beweis
umfasst die Anwendung auch nicht.
| / \ |
Ramsey
meinte, dass das, was ich das Erkennen des
Systems nenne, weiter nichts ist, als die – vielleicht
unbewusste – Anwendung eines allgemeinen
mathematischen Satzes. 58 So,
wenn ich wisse, dass sich die Frage nach der
Richtigkeit von sin
3x = 5 cos x entscheidbar sei, folgere ich das eben
nur aus dem Gesetz für
sin
x + y etc.
Aber das ist nicht wahr, sondern ich folgere es daraus,
dass es so ein Gesetz gibt, nicht
daraus, wie es lautet. | ✓ / \ ✓ |
Wir dürfen nicht die unendliche Möglichkeit
der Anwendung mit dem verwechseln, was wirklich bewiesen
ist. Die unendliche Möglichkeit der Anwendung ist
nicht bewiesen! | ✓ / \ |
Das was am Beweis durch
Recur[t|s]ion auffällt, ist vor
allem, dass das nicht herauskommt, was
er zu beweisen vorgibt. | ✓ / \ |
Der Beweis zeigt, dass aus
der Form 1[(|)] “A(c)” mittels der Regel 2) “A(1)” die Form “A(c + 1)” folgt. Oder, was dasselbe
heisst, die Form “A(c + 1)” ˇ“a + (b + (c + 1))” lässt sich mit
Hilfe der Regeln 1) und 2) in “(a + b) + (c + 1)” überführen. Das ist die ganze Wirklichkeit des Beweises. Alles andere und die ganze gewöhnliche Interpretation liegt in der Möglichkeit seiner Anwendung. Und der gewöhnliche Fehler, darin, die Extension seiner Anwendung mit dem zu verwechseln, was er eigentlich enthält. | ✓ / \ |
Eine
Definition kann ich natürlich nicht verneinen.
Sie hat daher auch keinen Sinn. Sie ist eine
Regel nach der ich vorgehen kann (oder vorzugehen
habe). | ✓ / \ |
Die
Grundregeln eines Systems kann ich nicht [h|n]egieren
– ausser als Folge ihrer
selbst. | ✓ / \ |
Die Anzahlen sind eine in der
Wirklichkeit durch die Dinge gegebene Form, so wie die
Rationalzahlen durch Ausdehnungen etc. Ich
meine, durch wirkliche Formen. So sind die
Komplexenzahlen durch wirkliche
Mannigfaltigkeiten gegeben. (Die Symbole sind ja
wirklich.) | ✓ |
Kann man das
kommutative Gesetz als Definition auffassen?
Ich glaube ja, weil die Reihenfolge bei der
Ausrechnung der Addition keine Rolle spielt.
Wir können z.B. nicht
5 + 6
und dann
6 + 5
zusammenzählen und nun schauen, ob das Gleiche
herauskommt. Dagegen ist es anders mit dem
associativen Gesetz. | ✓ |
Das “c” im
Skolem'schen
Beweis hat im Beweis noch keine Bedeutung, es steht
für 1 oder was sich etwa aus dem Beweis noch ergeben mag, und
nach dem Beweis sind wir berechtigt es als irgendeine
Zahl aufzufassen. Aber etwas muss
es doch schon im Beweis geheissen
haben. Wenn 1, warum schrieben wir dann nicht “1” statt
“c”? Und wenn etwas anderes, was? | ✓ / \ |
|
Was uns am Beweis interessieren soll, ist gar nicht sein
Schlussatz, sondern, das
dass diese aus den Regeln 1) und 2)
folgt und ferner, dass dieser Satz als
Spezialfall die Regel 1) enthält.
⌊⌊
Der Allgemeine Beweis beweist A(7) nur insofern als er mit A(7) zusammengestellt dessen Beweis ist A(7) mußte eben dazukommen & das Ubrige ist nur was der Beweis von A(7) mit dem von A(6) etc. gemeinsam hat. ⌋⌋ 59 | ✓ / \ |
Nehmen wir nun an, ich will den Satz auf 5, 6, 7
anwenden, so sagt mi[t|r] der Beweis,
dass ich das bestimmt darf. Wenn
ich nämli[v|c]h diese Ziffern in der Form
((1 + 1) + 1)
etc. schreibe, so kann ich erkennen,
dass der Satz ein Glied jener Satzreihe
ist, die mir der letzte Satz der
Skolem'schen
Beweiskette darstellt. Dieses Erkennen ist wieder nicht
beweisbar sondern intuitiv. | ✓ / \ – |
“Every
symbol is what it is and not an other
symbol”. | ✓ ? ✓ / \ |
Kann es keinen Beweis geben, der
bl[i|o]ss zeigt,
dass jede Multiplikation im
Dezimalsystem nach den Regeln eine Zahl des Dezimalsystems
liefern muss?
(Sodass also das Erkennen des
gleichen Systems doch auf der Erkenntnis der Wahrheit eines
mathematischen Satzes beruhen würde.) | ✓ / \ – ? |
Er müsste analog sein
einem Beweis dafür, dass durch Addition
von Formen ((1 + 1) + 1)
etc. immer wieder Ziffern dieser Form
entstehen. Kann man das nun beweisen? Der
Beweis liegt offenbar in der Regel der Addition solcher
Ausdrücke, d.h. in der Definition und in
nichts anderem. Man könnte ja auf die Frage, auf welche dieser Beweis die Antwort geben soll auch sagen: Ja was soll die Addition denn ergeben? | ✓ / \ – |
Ein recurrierender Beweis ist
nur eine allgemeine Anweisung auf beliebige spezielle
Beweise. Ein Wegweiser der alle Sätze einer bestimmten
Form auf einem bestimmten Wege heimweist. Er sagt
zum Satz
↖2 + (3 + 4)
=
(2 + 3) + 4:
“Geh in dieser
Richtung (durchlaufe diese Spirale) dann kommst Du nach
Hause. | ✓ ? / \ |
Inwiefern kann man nun so eine Anweisung auf Beweise,
den Beweis eines allgemeinen Satzes nennen?
(Ist das nicht, als wollte man fragen “inwiefern kann man einen Wegweiser einen Weg
nennen”?)
Aber er rechtfertigt doch die Anwendung von A(c) auf Zahlen. Muss es also nicht doch einen legitimen Uebergang von dem Beweisschema zu diesem Ausdruck geben? | ✓ / \ ? |
Ich kenne einen Beweis mit endloser Möglichkeit, der
z.B. mit “A(1)” anfängt und weiterläuft über “A(2)” etc. etc. Der
recurrierende Beweis ist die allgemeine Form
des Fortschreitens in dieser Reihe. Aber er
muss doch selbst beweisen, denn er erspart
mit tatsächlich den Beweis eines jeden Satzes von der Form
“A(7)”. Aber wie konnte er denn diesen Satz
beweisen? Er weist offenbar jener Reihe von Beweisen
entlangt. | ✓ / \ |
a + (b + (x + d))
=
(a + (b + x))
=
((a + b) + x) +
a + (b + (x + d)) = (a + (b + x)) + d = ((a + b) + x) + d = (a + b) + (x + d) a + (b + ((x + d) + d)) = (a + (b + (x + d))) + d = ((a + b) + (x + d)) + d = (a + b) + ((x + d) + d) Das ist ein Stück der Spirale aus der Mitte heraus. x hält den Platz offen für das, was erst bei der Entwicklung entsteht. | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Der allgemeine
Beweis beweist A(7) nur insofern als er mit
A(7) zusammengestellt
dessen Beweis ist. A(7) mußte eben
dazukommen & das Übrige ist nur was der Beweis von
A(7) mit dem von
A(6) etc. gemeinsam
hat. ⌋⌋ |
Wenn ich diese Reihe ansehe, kann
mir auffallen, dass sie mit der Definition
60
A(1) verwandt ist;
dass, wenn ich für “c”
“1”
und für “d”
“1”
setze, die beiden Systeme gleich werden. | ✓ |
Im
Beweis ist jedenfalls das zu beweisende nicht das Ende der
Gleichungskette. | ✓ |
Der Beweis zeigt die Spiralform des Gesetzes.
Aber nicht so, dass sie als Resultat der Schlusskette herauskommt. | ✓ / \ |
Wir können uns den Beweis ganz gut auch populär mit 1
ausgeführt denken und etwa Pünktchen darnach um
anzudeu⌊t⌋en, worauf wir sehen sollen. Er wäre
nicht wesentlich weniger streng (hier wird nämlich die
Andersartigkeit des Beweises noch deutlicher).
Denken wir uns ihn so. Wie rechtfertigt er dann den Satz A(c)? | ✓ |
Wenn man
den Beweis ansieht als einen von der Art der Ableitung von
(x + y)²
=
x² + 2xy + y²,
so beweist er den [s|S]atz “A(c + 1)” (unter der Annahme von “A(c)”, also des Satzes, den ich eigentlich beweisen
wollte) Und rechtfertigt – unter
dieser Voraussetzung – Spezialfälle, wie
3 + (5 + (4 + 1))
=
(3 + 5) + (4 + 1).
Er hat auch eine Allgemeinheit, aber nicht die
gewünschte. Diese Allgemeinheit liegt vielmehr
nicht in den Buchstaben, sondern ebensogut in bestimmten Zahlen und
besteht darin, dass man den Beweis
wiederholen kann. | ✓ |
Wie kann ich aber durch das
Zeichen “F(a)” das anzeigen, was ich im
Uebergang von
F(1) auf
F(2) sehe?
(Nämlich die Möglichkeit der
Wiederholung) | ✓ |
Dass a + (b + 1))
=
(a + b) + 1
ein Spezialfall von a + (b + c)
=
(a + b) + c
ist, kann ich auch nicht beweisen, sondern
muss es sehen. [Auch keine Regel
kann mir da helfen, denn ich muss doch
wieder wissen, welches ein Spezialfall der allgemeinen Regel
ist] | ✓ / \ |
Das ist
die unüberbrü[v|c]kbare Kluft zwischen Regel und
Anwendung, oder Gesetz und Spezialfall. | / \ |
A(c) ist eine Definition,
eine [eg|Re]gel für das algebraische Rechnen.
Sie ist so gewählt,
dass dieses Rechnen mit dem Zahlenrechnen
übereinstimmt. Sie erlaubt den selben
Uebergang im algebraischen Rechnen der,
wie sich im rekursiven Beweis zeigt, für
Cardinalzahlen gilt.
A(c) ist also nicht das
Resultat dieses Beweises, sondern läuft mit ihm
quasi parallel. Das was wir aus jenem Beweis entnehmen, kann man überhaupt nicht in einem Satz darstellen und ebendadurch allerdings auch nicht verneinen. 61 | ✓ / \ |
⌊⌊n⌋⌋ Wie ist es aber mit einer Definition,
wie A(1). Dies ist nicht als
Regel zum algebraischen Rechnen gemeint, sondern als
Hilfsmittel zur Erklärung von arithmetischen
Ausdrücken. Sie stellt eine
Operation dar, die ich auf jedes beliebige
Zahlenpaar anwenden kann. | ✓ / \ |
Der richtige Ausdruck des associativen
Gesetzes ist kein Satz, sondern gerade sein “Beweis”, der
allerdings das Gesetz nicht behauptet sondern zeigt. Und
hier wird es klar, dass man dieses Gesetz
nun nicht verneinen kann, weil es gar nicht in Form eines Satzes
auftritt. Die einzelnen Gleichungen des Beweises
könnte man freilich verneinen, aber dadurch wäre das
Gesetz nicht verneint. Dieses entgeht der
Bejahung und Verneinung. | ✓ / \ |
Wenn die Gleichung
x² + 2x + 2
= 0 nach den algebraischen Regeln
x =
‒ 1 ÷ V ‒ 1
ergibt, so ist das ganz in Ordnung, solange wir nicht wollen,
dass die Regeln für x im
Einklang sind, mit den Regeln für die reellen Zahlen.
In diesem Falle bedeutet das Ergebnis der algebraischen
Ausrechnung, dass die Gleichung keine
Lösung hat. | ✓ ? |
Wenn der Beweis, dass jede Gleichung eine
Wurzel hat ein recursiver Beweis ist, so
heisst das, dass der
Hauptsatz der Algebra kein eigentlicher mathematischer
Satz ist. | ✓ / \ |
Wissen,
dass man etwas beweisen kann, ist, es bewiesen
haben. | / \ |
7 + (8 + 9)
=
(7 + 8) + 9
Wie weiss ich, dass
das so ist ohne es besonders bewiesen zu haben? Und
wie weiss ich es
ebensogut, als hätte ich es vollständig
abgeleitet? Ja! – Dann ist es
also wirklich bewiesen. Und zwar kann es dann nicht noch
besser bewiesen werden; etwa dadurch,
dass ich die Ableitung bis zu diesem Satz
selbst führe. Ich muss also
nach Durchlaufung einer Spiralwindung [d|s]agen können
“halt! ich brauche nicht mehr, ich sehe schon, wie
es weitergeht” und alles höhere Steigen
müsste dann einfach überflüssig
sein und nicht doch die Sache deutlicher machen. Wenn
ich alle Windungen der Spirale bis zu meinem Punkt zeichne, so kann
ich also nicht besser sehen, dass sie zu
ihm führt, als wenn ich nur eine Windung
zeichne. Ist das aber so? Ich glaube
ja. Nur zeigen beide dasselbe in verschiedener
Form. Ich kann sozusagen der vollständig
gezeichneten Spirale stupid folgen und folge komme zu meinem Punkt, während ich die eine
gezeichnete Windung auf bestimmte Weise interpretieren
muss, um aus ihr zu entnehmen,
dass sie verlängert zum Punkte A
führt.
D.h.: Aus dem vollständig durchgerechneten Beweis für 6 + (7 + 8) = (6 + 7) + 8 kann ich dasselbe entnehmen, wie aus dem, der nur eine “Windung” beschreibt, nur auf andere Weise. Und jedenfalls ist die eine Windung zusammen mit den Zahlformen der gegebenen Gleichung ein vollständiger Beweis dieser Gleichung. Es ist, wie wenn ich sage: “Du willst zum Punkt A kommen? Ja, den kannst Du mit dieser Spirale erreichen. | ✓ / \ |
|
Vergessen wir nicht, dass die
physikalische Sprache auch wieder nur die primäre Welt
beschreibt und nicht etwa eine hypothetische Welt. Die
Hypothese ist nur eine Annahme über die praktischste Art der
Darstellung. ⌊⌊
62 | ✓ / \ |
Angenommen ich hätte ein so gutes Gedächtnis,
dass ich nicht mich meiner
sämtlichen Sinneseindrücke erinnern
könnte. Dann spricht nichts dagegen,
dass ich sie beschriebe. Es
wäre das eine Lebensbeschreibung. Und warum sollte ich
nicht alles Hypotehtische aus dieser
Beschreibung fortlassen können? | ✓ / \ |
Ich könnte ja z.B. die
Gesichtsbilder plastisch darstellen, etwa in verkleinertem
Maßstab durch Gipsfiguren, die ich nur soweit ausführe, als
ich sie wirklich gesehen habe und den Rest etwa durch eine
Färbung oder Ausführungsart als unwesentlich
bezeichne. | ✓ / \ – |
Soweit
ginge die Sache vollkommen gut. Aber wie ist es
mit der Zeit, die ich zu dieser Darstellung brauche?
Ich nehme an, ich wäre im Stande diese Sprache so schnell
zu “schreiben” – die Darstellung zu erzeugen – als meine
Erinnerung geht. Nehmen wir aber an ich läse die
Beschreibung dann wieder durch, ist sie jetzt nicht doch
hypothetisch? | ✓ / \ |
De[h|n]ken wir uns so eine Darstellung: Die
Körper die ich scheinbar sehe, werden durch
einen Mechanismus so bewegt, dass sie zwei
Augen, die an einer bestimmten Stelle des Modells angebracht
sind, die darzustellenden Gesichtsbilder geben
müssten. Aus der Lage der
Augen im Modell und aus der Lage und Bewegung der Körper ist dann
das beschriebene Gesichtsbild bestimmt.
Es wäre etwa denkbar den Mechanismus durch Drehen einer Kurbel zu betreiben und die Beschreibung so “herunterzulesen”. | ✓ / \ |
| ⌊⌊
Denken wir uns folgende Darstellung unserer unmittelbaren
Sinneserfahrung: Statt sie mit Worten zu beschreiben
konstruieren wir uns ein Modell das sie reproduziert. Wir
könnten uns als eine Annäherung auch die Darstellung in
einem Zeichenfilm denken. Wir lesen dann die Beschreibung
indem wir sie uns auf der Leinwand vorführen. ⌋⌋ |
Ist es nicht klar, dass das die
unmittelbarste Beschreibung wäre, die sich denken
lässt?
D.h., dass alles was
noch unmittelbarer sein wollte aufhören
müsste eine Beschreibung zu
sein? | ✓ / \ |
Es käme dann statt einer Beschreibung jener unartikulierte
Laut heraus, mit dem manche Autoren die Philosophie gern anfangen
möchten. (“Ich
habe, um mein Wissen wissend, bewusst
etwas”).
Man kann eben nicht vor dem Anfang anfangen. | ✓ / \ |
Die Sprache selbst gehört zum zweiten System. Wenn
ich eine Sprache beschreibe, beschreibe
wesentlich etwas Physikalisches. Wie kann aber eine
physikalische Sprache das Phänomen
beschreiben? | ✓ / \ |
Ist es nicht so: Das Phänomen (specious
present) enthält die Zeit, ist aber nicht in
der Zeit? Seine Form ist die Zeit, aber es hat keinen Platz in der Zeit. | ✓ / \ |
Während die Sprache zeitlich
abläuft. | ✓ / \ |
Was wir unter dem Wort “Sprache”
verstehen, läuft in der homogenen physikalischen Zeit
ab. (Wie das durch den Vergleich
63 | ✓ / \ |
|
Was diesem Mechanismus in der primären Welt entspricht, nur
das könnte die primäre Sprache sein. |
Angenommen die Welt bestünde aus einem gleichbleibenden
Gesichtsfeld; wäre es da nicht möglich sie zu
beschreiben?
Z.B.: In der Mitte eines roten Gesichtsfeldes ist ein blauer kreisförmiger Fleck. Obwohl auch hier, das, was beim Lesen des Satzes vor sich geht nicht im Satz beschrieben sein kann. Aber von welcher Wichtigkeit kann denn diese Beschreibung des gegenwärtigen Phänomens sein? Es scheint, als wäre die Beschäftigung mit dieser Frage geradezu kindisch und wir in eine Sackgasse hineingeraten. Und doch ist es eine bedeutungsvolle Sackgasse, denn in sie lockt es alle zu gehen, als wäre dort die letzte Lösung des phyl[i|o]sop philosophischen Problems zu suchen. Es ist, als käme ich mit der phänomenologischen Sprache in einen verzauberten Sumpf, wo alles Erfassbare verschwindet. | ✓ / \ |
Andererseits ist es klar, dass wir eine
Ausdrucksweise brauchen, in der wir die Phänomene des
Gesichtsraums als solche isoliert darstellen können.
“Ich she eine Lampe auf dem Tische stehen” sagt, wie es in unserer gewöhnlichen Sprache verstanden werden muss, mehr als die Beschreibung des Gesichtsraumes. Eine richtige Beschreibung wäre zwar: “Es scheint mir als sähe ich eine Lampe auf einem Tisch stehen” Aber diese Ausdrucksform ist irreleitend, weil sie es erscheinen lässt, als würde nichts Wirkliches beschrieben, sondern etwas, was seinem Wesen nach nicht klar sei. Während doch das “es scheint” nur besagt, dass etwas als besonderer Fall einer allgemeinen Regel beschrieben wird und das Ungewisse ist nur, ob sich weitere Ereignisse als besondere Fälle derselben Regel beschreiben lassen werden. Auf dem Film scheint eine Sinuslinie zu sein von der wir einzelne Stücke sehen. D.h. was wir sehen lässt sich durch eine Sinuslinie auf dem Film und bestimmte Unterbrechungen des Lichtstrahls beschreiben. Um den Kreis K scheint ein conzentrischer Kreis gezeichnet und a, b, c, d, e, f als Tangenten an ihn gezogen worden zu sein. Figur. | ✓ / \ |
Es könnte z.B. einmal praktisch
sein meinen Händen und denen anderer Leute
Eigennamen zu geben, um bei⌊m⌋ Reden von ihnen nicht
immer von ihrer Beziehung zu einem Menschen reden zu
müssen, welche für die Hände selbst unwesentlich ist
und weil die gewöhnliche Ausdrucksweise den Anschein
erwecken könnte, als wäre die Beziehung zum Besitzer der
Hand etwas, was im Wesen der Hand selbst liegt. | ✓ / \ |
Der Gesichtsraum hat wesentlich keinen Besitzer. | ✓ / \ |
Nehmen wir nun an, ich sehe immer einen bestimmten Gegenstand mit
allen anderen im Gesichtsraum – nämlich meine Nase
–. Ein anderer sieht diesen Gegenstand
natürlich ⌊⌊ Denken wir uns wir sehen gewöhnlich Längen die durch Teilstriche in gleiche Teile geteilt wären & gebrauchten dann das Wort größere & kleinere Länge zweideutig. ⌋⌋ 64
nicht auf gleiche
Weise. Heisst das nicht
doch, dass der Gesichtsraum von dem ich
rede, mir g⌊e⌋hört?
Dass er also subjektiv ist.
Nein. Er ist hier nur subjektiv
aufgefasst worden und ihm ist ein objektiver
Raum entgegengestellt, der aber nur eine Konstruktion ist mit dem
Gesichtsraum als Basis. In der – sekundären
– Sprache des “objektiven”
– physikalischen – Raumes heisst der
Gesichtsraum subjektiv, oder,
heisst das
subiekt subjektiv was in der
Sprache dem Gesichtsraum unmittelbar entspricht. So,
als würde man sagen: In der Sprache der
re[l|e]llen Zahlen heisst das, was
in ihrem Reich den Cardinalzahlen unmittelbar
entspricht, die “possitiven ganzen
Zahlen”. | ✓ ? ✓ |
| ⌊⌊ Denken wir uns wir sehen
gewöhnlich Längen die durch Teilstriche in gleiche Teile
geteilt wären & gebrauchten dann das Wort größere
& kleinere Länge zweideutig. ⌋⌋ |
In dem vorhin beschriebenen Modell müssen die beiden Augen,
die die Gegenstände sehen, oder ihr Ort nicht angegeben
sein. Das ist nur eine Art der
Darstellung. Es geht z.B.
ebensogut, wenn der Teil der Gegenstände der “gesehen” ist,
durch einen Anstrich angedeutet ist. Natürlich kann
man au[f|s] den Grenzen dieses Anstrichs immer die Lage
zweier Augen bestimmen, aber das entspricht nur der
Uebersetzung einer Ausdrucksweise in eine
andere. | ✓ / \ |
Das Wesentliche ist, dass die Darstellung
des Gesichtsraums ein Objekt darstellt und keine Andeutung eines
Subjekts enthält. | ✓ / \ |
Angenommen alle
Teile meines Körpers könnten entfernt werden, bis auf
einen Augapfel; dieser würde unbeweglich irgendwo befestigt
und behielte die Fähigkeit zu sehen. Wie würde
mir die Welt erscheinen? Ich könnte keinen Teil
meiner selbst wahrnehmen und [A|a]ngenommen,
dass mein Augapfel für mich
durchsichtig wäre, könnte ich mich auch im Spiegel nicht
sehen. Eine Frage ist nun: Könnte ich mich
durch mein Gesichtsbild lokalisieren? Mich
lokalisieren heisst hier natürlich nur,
eine bestimmte Struktur des Gesichtsraumes feststellen.
| ✓ – |
Zwingt mich nun
irgend etwas zu der Deutung, dass der Baum,
den ich durch mein Fenster sehe,
grösser ist als das Fenster?
Wenn ich einen Sinn für die Entfernung der
Objekte vorn meinem Auge habe, so ist das eine berechtigte
Deutung. Aber auch dann ist es doch eine Darstellung in
einem andern Raum als dem Gesichtsraum, denn, was dem Baum im
Gesichtsraum entspricht, ist doch offenbar kleiner als das, was dem
Fenster entspricht. Oder muss ich sagen: Ja das kommt eben darauf an, wie man die Wörter “grösser” und “kleiner” anwendet. | ✓ – |
So ist es
auch: Ich kann im Gesichtsraum die Wörter “grösser” und “kleiner” in beiden Arten gebrauchen. Und in einem Sinn
ist der Gesichtsberg kleiner im
andern grösser als das
Gesichtsfenster. | ✓ – |
|
Angenommen mein
Augapfel sei hier hinter dem Fenster befestigt,
sodass ich das meiste ˇwas ich
sehe durchs Fenster sehen würde. Dann würde
dieses Fenster die Rolle eines Teiles meines Körpers
übernehmen können. Was nah am Fenster ist, ist
mir nahe. (Ich nehme an, dass
ich mit einem Auge dreidimensional sehe).
Ausserdem nehme ich an,
dass ich meinen Augapfel im Spiegel zu
sehen im Stande bin und etwa an den Bäumen
draussen ähnliche Augäpfel
wahrnehme. Wie kann ich nun erkennen, oder zu der Annahme kommen, dass ich die Welt durch die Pupille meines Augapfels sehe? Doch nicht wesentlich anders, als dazu, dass ich si sie durch das Fenster sehe, oder etwa durch ein Loch in einem Brett hinter dem unmittelbar mein Auge liegt. ⌊⌊ In welchem Gesichtsraum ist nicht etwa eine Unvollständigkeit so daß ich sagen könnte: ich sehe noch nicht den ganzen Raum ich muß mich umdrehen Mein Der Gesichtsraum ist vollständig.⌋⌋ 65 | ✓ – |
| ⌊⌊ In welchem Gesichtsraum ist nicht etwa
eine Unvollständigkeit so daß ich sagen könnte: ich
sehe noch nicht den ganzen Raum ich muß mich
umdrehen Mein Der
Gesichtsraum ist vollständig. ⌋⌋ |
Ja, wenn mein
Auge frei an der Spitze eines Astes
sässe, so könnte
| ✓ – |
Heisst das alles nun aber,
dass das Gesichtsbild doch wesentlich ein
Subjekt enthält oder voraussetzt?
Oder ist es nicht vielmehr so, dass jene Versuche mir nur rein geometrische Aufschlüsse geben. D.h., Aufschlüsse, die immer wieder nur das Objekt betreffen. Objektive Aufschlüsse über die Realität. | ✓ / \ |
Im Gesichtsraum ist nicht ein Auge, welches mir gehört und
Augen die anderen gehören. Nur der Raum selbst
ist unsymetrisch, die Gegenstände in ihm sind
gleichberechtigt. Im physikalischen Raum aber stellt
sich dies so dar, dass eines unter den an
gleichberechtigten Stellen liegenden Augen ausgezeichnet wird und
mein Auge heisst.
| ✓ / \ |
Ich will wissen, was hinter mir vorgeht und drehe mich um.
Währe ich daran verhindert, würde
nicht die Vorstellung leiden,
dass sich der Raum um mich herum
ausdehnt? Gewiss.
Und dass ich die Gegenstände, die
jetzt hinter mir sind, dadurch zu sehen kriege,
dass ich mich umdrehe.
Also ist es die Möglichkeit des
Michumdrehens die mir zu jener Raumvorstellung
verh[o|i]lft. Der resultierende Raum um mich
herum ist also ein gemischter Sehraum und
Muskelgefühlsraum. | ✓ / \ |
Ohne das Gefühl der Fähigkeit “mich umzudrehen”
wäre meine Raumvorstellung eine wesentlich
andere. | ✓ / \ |
So hätte das freisitzende unbewegliche Auge nicht die
Vorstellung eines es umgebenden Raumes. | ✓ / \ |
Die unmittelbare Erfahrung kann keinen Widerspruch
enthalten. Ist sie jenseits von allem Sprechen und
Widersprechen, dann kann auch kein Erklärungsbedürfnis
auftreten, das Gefühl, dass sich der
Vorgang erklären lassen muss, weil sonst
etwas nicht stimmen würde. | ✓ ? |
Wie ist es denn, wenn man die Augen
schliesst: man hört doch nicht auf
zu sehen. Was man aber hier sieht enthält doch
gewiss keine Beziehung zu einem Auge.
Und mit dem Traumbild ist es das Gleiche. Aber auch
im normalen Sehen ist es klar, dass die
Ausnahmsstellung meines Körpers im Gesichtsraum nur von
anderen Gefühlen herrührt, die in meinem Körper
lokalisiert sind und nicht von etwas rein Visuellem. | ✓ / \ |
Wir
befinden uns mit unserer Sprache sozusagen nicht im Bereich des
projizierten Bildes, sondern im Bereich des
Films. Und wenn ich zu dem Vorgang auf der Leinwand
Musik machen will, muss das, was sie
hervorruft, sich wieder in der Sphäre des Films
abspielen. 66 | ✓ / \ |
Schon das Wort “Gesichtsraum” ist
für unseren Zweck ungeeignet, denn es enthält eine
Anspielung auf ein Sinnesorgan, wie für den
Raum ebensowenig wesentlich ist, als es für ein Buch
wesentlich ist, dass es einem bestimmten
Menschen gehört; und es könnte sehr irreführend
sein, wenn es in unserer Sprache so eingerichtet wäre,
dass wir in ihr kein Buch bezeichnen
könnten, ausser durch seine Beziehung zu
einem Besitzer. Es könnte zur Ansicht führen,
dass ein Buch nur mit Beziehung auf einen
Menschen existieren kann. | ✓ / \ |
Wenn nun die phänomenologische Sprache den Gesichtsraum
und was in ihm vorgeht von allem Anderen isoliert, was macht sie
mit der Zeit? Ist die Zeit der “visuellen”
Phänomene die Zeit unserer gewöhnlichen physikalischen
Ausdrucksweise? | ✓ / \ |
Es ist
klar, dass wir im Stande sind Zeiträume
als gleich zu erkennen. Ich könnte mir
z.B. die Vorgänge im Gesichtsraum begleitet
denken vom Ticken eines Metronoms oder vom Aufblitzen eines Lichtes
in gleichen Zeitabständen. Ich denke mir der Einfachheit halber die Veränderungen in meinem Gesichtsraum ruckweise und etwa zweitlich mit den Schlägen des Metronoms zusammenfallend. Ich kann dann eine Beschreibung dieser Vorgänge geben (in der die Schläge durch Zahlen bezeichnet sind[.|)]. | ✓ / \ |
Angenommen, diese Beschreibung sei eine Vorhersage und sie soll nun
verifiziert werden. Ich weiss
sie etwa auswendig und vergleiche sie nun mit dem, was wirklich
vorgeht. Hier ist alles Hypothetische vermieden, bis auf
das, was in der Voraussetzung liegt, die Beschreibung sei mir
unabhängig von dem gegeben, was mir von ihr gerade
gegenwärtig ist. Das Ganze ist ein Sprechfilm und das gesprochene Wort, was mit den Vorgängen auf der Leinwand geht, ist ebenso fliehend, wie diese Vorgänge, und nicht das Gleiche wie der Tonstreifen. Der Tonstreifen begleitet nicht das Spiel auf der Leinwand. | ✓ / \ |
Hat es nun einen Sinn zu sagen, ich hätte ja durch einen
Kobold betrogen werden können, und was ich für die
Beschreibung
Und das heisst nichts anderes, als dass die Zeit meines Gedächtnisses in diesem Fall eben die Zeit ist, die ich beschreiben. Sie ist nicht dieselbe, wie die der gewöhnlichen Auffassung: Für diese gibt es alle möglichen Quellen, etwa die Erzählungen anderer Leute etc. Aber es handelt sich auch hier wieder darum die eine Zeit zu isolieren. | ✓ / \ |
Wenn in drei Röhren je eine schwarze eine rote
und eine gelbe Flüssigkeit strömen und sich diese an
einem Punkt zu einer braunen vereinigen, so hat diese
resultierende Flüssigkeit nun auch einen eigenen
Strömungszustand, ich aber will nur sagen,
dass jedde der einfach
gefärbten Flüssigkeiten auch einen Strömungszustand hat
und will ihn untersuchen, wo die drei noch nicht zusammengeflossen
sind. | ✓ / \ ? |
Natürlich ist auch das Wort “Gegenwart” hier
nicht am Platz. Denn inwiefern kann man von der
Realität sagen, sie sei gegenwärtig? Doch nur,
wenn man sie wieder in eine ihr fremde Zeit einbettet.
An und für sich ist sie nicht gegenwärtig. Im
Gegenteil, sie enthält vielmehr eine Zeit. 67 | ✓ / \ |
Es ist
klar, dass man in der Theorie der Anzahlen wie
Frege und
Russell sie entwickeln,
alle Funktionen von vorn herein durch Scheinfunktionen wie
“x = a. V .x =
b. V .x = c
etc.” ersetzen
kann. Denn ohne diese kann man in ihr doch nicht
auskommen. Sie stellen in Wirklichkeit Extensionen dar,
gleichsam “Magazine” oder
“Füllungen”, die man an der rechten Stelle in den Satz einschiebt, wenn
man die Extension in ihn
brauchet. Der Satz
2 + 2
ist = 4 gilt für diese
Füllung. | ✓ / \ |
Wenn ich den Satz
schreiben “(Ex,y,z).F( )
& (Ex,y[,|)].G( ) &
Jnd.C.(Ex,y,z,u,v). .F( )
. V .G( )”
so muss ich, um die Extension der rechten
Klammer richtig hinschreiben zu können, sie in zwei
Teilen schreiben, die den beiden linken Extensionen 1-1
zugeordnet sind. Ich bekommen also hier
(und im einfacheren Fall ist es natürlich dasselbe) zuerst
den Satz (E3x).Fx. & .(E2x). Gx &
ind.C.(E3 + 2
x).Fx. V .Gx. | ✓ |
(E2x). Fx &
(E2x). Gx &
ind.C.(E4x).
Fx V .Gx …A Dieser Satz sagt –
natürlcih – nicht,
dass
2 + 2
= 4, sondern, dass der Ausdruck
eine Tautologie ist, zeigt es. F und G
müssen unind[r|t]egrierte Variable
sein. | ✓ / \ |
Wenn ich zwei
Gegenstände habe, so kann ich diese freilich, wenigstens
hypothetisch, unter einen Hut bringen, aber das
Charaktristische
| ✓ ? |
Wenn im Satz A ein Fehler ist, kann ich ihn nur durch
Vergleichen der Extensionen in den Klammern auffinden und
richtigstellen. Oder ich zähle die beiden linken
Zahlen zusammen und schreibe das Resultat in die rechte
Klammer. Jedenfalls muss ich
irgendwie die Summe hinschreiben. | ✓ / \ |
In unserer gewöhnlichen Sprache ist allerdings jede
Zahlangabe die Aussage über einen Begriff,
d.h. über ein Prädikat, aber ich
glaube, dass sich mit dieser
Prädikatform die verschiedensten logischen Strukturen
verkleiden, und dass es nur durch ein
erkünsteltes Verfahren der Darstellung so erscheinen kann,
als handle es sich hier um Begri[d|f]fe. | ✓ / \ |
Nicht einmal eine gewisse Allgemeinheit ist der Zahlangabe
wesentlich. Wenn ich z.B. sage
“ich sehe 3
gleichgrosse Kreise in gleichen Abständen
angeordnet”.
Wenn ich eine richtige Beschreibung des Gesichtsfeldes gebe, in dem 3 rote Kreise auf blauem Grund stehen, so wird da gewiss nicht der Ausdruck vorkommen “(Ex,y,z):x ist kreisförmig und rot und y ist kreisförmig und rot etc. etc. | ✓ / \ |
Das Charaktristische ist,
dass ich in der Satzform
F(n) eine Zahl nach der
anderren muss für
n einsetzen können und der Satz
muss jedesmal einen durch diese
Einsetzung allein vollkommen bestimmten Sinn erhalten.
| ✓ ? |
Freilich könnte man so schreiben: Es gibt 3
Kreise, die die Eigenschaft haben rot zu sein. Aber hier tritt
der Unterschied zu Tage zwischen den uneigentlichen
Gegenständen, Farbflecken im Gesichtsfeld, Tönen,
etc. und den Elementen der Erkenntnis,
68
den eigentlichen
Gegenständen. Es fällt auf, dass der Satz v[i|o]n den 3 Kreise nicht die Allgemeinheit, oder Unbestimmtheit hat, die ein Satz der Form (Ex,y,z).Fx & Fy & Fz besitzt. In diesem Fall kann man nämlich sagen: Ich weiss zwar, dass 3 Dinge die Eigenschaft F haben, weiss aber nicht, welche. Im Fall von den drei Kreisen kann man das nicht sagen. “Es sind jetzt 3 rote Kreise von der und der Grösse und Lage in einem Gesichtsfeld”, bestimmt die Tatsache vollständig und es wäre unsinnig zu sagen, ich wisse noch nicht, welche Kreise es sind. | ✓ / \ ✓ / \ |
Denken wir an “Gegenstände”
wie: Ein Blitzschlag, das gleichzeitige Eintreffen
zweier Ereignisse, die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis,
etc. für alle diese Fälle sind die 3
Kreise im Gesichtsfeld ein Beispiel. | ✓ / \ |
Man kann natürlich die
Subjektä-Prädikat- oder
was dasselbe ist die Argument-Funktion-Form als eine Norm
der Darstellung auffassen und dann ist es allerdings wichtig
und charaktristisch, dass sich in
jedem Falle, wenn wir Zahlen anwenden, die Zahl als
Eigenschaft eines Prädikates darstellen
lässt. Nur müssen wir uns
darüber im Klaren sein,
dass wir es nun nicht mit Gegenständen
und Begriffen zu tun haben, als den Ergebnissen einer
Zerlegung, sondern mit Normen, in die wir den Satz
gepresst haben. Und es hat
freilich eine Bedeutung, dass er sich auf
diese Norm hat bringen lassen. Aber das
In-eine-Norm-pressen ist das
Gegenteil einer Analyse. Wie man, um den
natürlichen Wuchs des Apfelbaums zu studieren, nicht den
Spalierbaum anschaut, ausser, um zu sehen,
wie sich dieser Baum unter diesem Zwang
verhält. | ✓ – |
Das würde sagen, dass die
Frege'sche
Theorie der Zahl solange anwendbar wäre, als wir nicht eine
Analyse der Sätze beabsichtigen. Diese Theorie
erklärt den Zahlbegriff für die
Ausdrücksform der
Umfangssprache.
Frege hätte
allerdings gesagt (ich erinnere mich an eine
Unterredung[,|)] dass das
Zusammentreffen einer Mondesfinsternis und einer
Gerichtsverhandlung ein Gegenstand sei. Und was ist dagegen
einzuwenden? Nur, dass wir
das Wort “Gegenstand” dann
in zweideutiger Weise verwenden und so die Resultate der logischen
Analyse verwirren. | ✓ / \ |
Die
Russell'sche Theorie der Addition ist: Wenn zwei
Gegenstände unter einen Beggriff fallen und
zwei andere Gegenstände unter einen andern
[b|B]egriff, dann fallen dadurch 4 Gegenstände
un⌊t⌋er die Summe der beiden Begriffe. Ich sage
hier: “Dann fallen
2 + 2
Gegenstände unter die Summe der Begriffe”. Und
2 + 2
ist 4 oder 4
gleich 2 + 2,
gleichgültig, ob ich es mit der Summe zweier Begriffe zu
tun habe oder nicht. Ich meine: 4 Gegenstände
tragen schon die Möglichkeit der Zerlegung in 2 und 2 in sich, ob
diese durch die Grenzen gewisser Begriffe geschieht oder
nicht. | ✓ ? |
Ich sehe 3 Kreise in bestimmter Lage; ich
schliesse die Augen, öffne sie wieder
und sehe 3 ebenso grosse Kreise in anderen
Lagen. Hat es einen Sinn zu fragen, ob es dieselben sind
und welcher welcher ist? Gewiss
nicht. Aber jetzt während ich sie
sehe, kann ich sie identifizieren. (Sogar wenn sie sich
vor meinen Augen bewegen, kann ich die Kreise in neuen Lagen mit
denen in den früheren identifizieren). Wenn ich
ihnen Eigennamen gebe und schliesse die Augen
und öffne sie wieder und sehe, dass
die Kreise in der gleichen Lage sind, so kann ich jedem wieder seinen
Namen geben (Man kann die
Ueberlegung au[v|c]h
durchführen, wenn sie durch Bewegung ihre Plätze
vertauscht haben). Jedenfalls benenne ich immer
(direkt oder indirekt) einen Platz. 69 | ✓ / \ |
Wenn ich sage “in diesem Zimmer
sind 4 Menschen”, so scheint allerdings
eine Disjunktion hineinzuspielen, da nicht gesagt ist,
welche Menschen. Aber das ist ganz
unwesentlich. Wir könnten uns denken,
dass alle Menschen einander gleich
wären, abgesehen vom Ort, an dem sie sich befinden
(dass es sich also bei ihnen um
Menschlichkeit an einem bestimmten räumlichen Ort handelte)
und dann fiele jede Unbestimmtheit fort. | ✓ / \ |
Von den Dingen a, b, c, d haben 3 die Eigenschaft
F. Das kann durch die Disjunktion
ausgedrückt werden. Offenbar auch ein Fall, wo eine
Zahlenangabe sich nicht auf einen Begriff bezieht (obwohl man es
mittels des “ = ” auch so erscheinen lassen kann.) | ✓ / \ |
Wenn ich sage: Wenn 4 Aepfel
auf dem Tisch liegen, so liegen
2 + 2
Aepfel auf ihm, so
heisst das nur, dass
mit den 4 Aepfeln schon die Möglichkeit
gegeben ist, sie zu zwei und zwei zusammen zu fassen und
ich brauche nicht auf die wirkliche Zusammenfassung durch einen
Begriff zu warten. Diese “Möglichkeit” bezieht sich auf den Sinn, nicht auf die Wahrheit
eines Satzes.
2 + 2
= 4 kann heissen “wo immer ich 4 Gegenstände habe, besteht
die Möglichkeit, sie zu [2| zwei] und zwei zusammen
zu fassen. | ✓ / \ |
Wenn man schreibt (EIIIII)
etc. & (EIIIIIII)
etc. .C. (EIIIIIIIIIIII)
etc., so kann man im Zweifel sein, wie
ich denn das Zahlzeichen in der rechten Klammer erhalten habe,
wenn man nicht weiss,
dass es durch Addition der beiden linken
Zahlzeichen entstanden ist. Ich glaube, das macht
klar, dass dieser Ausdruck nur eine
Anwendung von
5 + 7
= 12, aber nicht diese Gleichung selbst
darstellt. | ✓ / \ |
Wenn man fragt: Was heisst denn
dann aber “5 + 7
= 12” – was für
ein Sinn oder Zweck bleibt dann noch für diesen Ausdruck
– so ist die Antwort: Diese Gleichung ist eine
Zeichenregel, die angibt, welches Zeichen entsteht, wenn man eine
bestimmte Operation (die Addition) auf 2 andere bestimmte
Zeichen anwendet. Der Inhalt von
5 + 7
= 12 ist (wenn einer es nicht
wüsste) genau das, was den Kindern
Schwierigkeiten macht, wenn sie diesen Satz im Rechenunterricht
lernen. | ✓ / \ |
Man kann ganz von der speziellen Beschaffenheit des Satzes A
absehen und bloss auf das Verhältnis,
die Beziehung, der Zahlzeichen in ihm achten. Das zeigt,
dass diese Beziehung unabhängig von
diesem Satz besteht. Nämlich von den andern Zügen
seiner Struktur, die ihn zur Tautologie machen. | ✓ / \ |
Denn wenn ich ihn als Tautologie betrachte, so nehme ich ja
bloss Eigenschaften seiner Struktur
wahr und das Additionstheorem kann ich nun in ihnen
wahrnehmen, ohne auf andere dem Satz wesentliche Charaktere zu
achten.3 | ✓ / \ |
Das Additionstheorem ist
also in ihm (unter anderem) zu erkennen, nicht
durch ihn. Diese Ueberlegung wäre natürlich unsinnig, wenn es sich [j|h]ier um den Sinn 70
eines Satzes handelte und nicht um
| ✓ ✓ |
Darauf könnte
man sagen: Was ich am Zeichen A wahrnehme
und die Beziehung der Zahlzeichen nenne, ist wieder nur das
Zusammenfassen von Begriffsumfängen: Ich vereinige
die 5 ersten Striche der rechten Klammer, die in einer
1-1 Beziehung zu den 5 in der einen linken
Klammer stehen und die folgenden 7 Striche der
rechte[h|n] Klammer, die in einer
1ä1 Beziehung zu den 7
in der anderen linken Klammer stehen, zu 12 Strichen, die das Eine
oder das Andere tun. Aber auch, wenn ich diesen
Gedankenprozess durchginge, so bliebe
das als fundamentale Einsicht, dass sich
die 5 Striche und die 7 gerade zu 12 vereinigen
(also etwa zu derselben Struktur, wie auch 4 und 4 und
4)[?|.] – Was uns das lehrt, ist
immer nur die Einsicht in die interne Beziehung der Strukturen und
nicht irgend ein Satz oder eine
Ueberlegung der Logik. Und
zwar ist für diese Einsicht alles an der Tautologie
ausser den Zahlstrukturen nur Beiwerk; nur
auf diese kommt es für den arithmetischen Satz an.
(Alles andere gehört zur Anwendung des
arithmetischen Satzes). | ✓ ? |
Ich will
also sagen: das [a|A]rithmetische ist nicht der
Anlass, 5 und 7 zusammenzugeben,
sondern der Vorgang und was dabei herauskommt. | ✓ ✓ ? |
Angenommen, ich schriebe den Satz A hin, setzte
aber in der rechten Klammer die falsche Anzahl von Strichen, so
könnte und würde man auf diesen Fehler nur durch
Vergleichung der Strukturen, nicht durch Anwendung von logischen
Lehrsätzen kommen. | ✓ ✓ / \ |
Ja, wenn man frägt: Woher
weisst du denn, dass
gerade diese Zahl von Strichen in der rechten Klammer die richtige
ist, so kann ich es nur durch eine Vergleichung der Strukturen
rechtfertigen. | ✓ ✓ / \ |
Es würde sich also herausstellen,
dass, was Frege den “Pfeffernuss-Standpunkt” in der Arithmetik nannte, doch einer
Rechtfertigung fähig wäre. | ✓ / \ |
Und
jetzt zeigt sich auch – glaube ich – klar, die Beziehung
zwischen der extensiven Auffassung der Klassen und der
Auffassung der Zahl als Merkmal einer logischen Struktur:
Eine Extension ist eine Charakteristik des Sinnes
eines Satzes. | ✓ ? |
Wenn nun der
Uebergang in A die einzige Anwendung
dieses arithmetischen Schema[t|s]a
wäre, könnte oder müsste man es
da nicht eben durch die Tautologie ersetzen, oder
definieren? | ✓ ? |
D.h.: Wie wäre es wenn
A die allgemeinste Form der Anwendung des
arithemtischen Schemas wäre?
| ✓ ? |
|
Wäre A die einzige – also
wesentlich die einzige – Anwendung des Schemas,
dann könnte das Schema ganz von selbst nichts anderes bedeuten,
als eben die Tautologie. ⌊⌊ 3 + 2 = 5 muß Teil des Kalküls auch der Tautologie sein. Statt um eine Definition der Zahl handelt es sich mir um die Grammatik der Zahlwörter. ⌋⌋ 71 | ✓ ? |
Oder: dann
müsste das Schema selbst die Tautologie
sein, und die Tautologie nichts anderes als das Schema.
| ✓ ? |
Dann könnte man auch nicht mehr sagen, A
sei eine Anwendung des Schemas, sondern A wäre das
Schema, nur gleichsam nicht das Werkzeug allein, sondern das Werkzeug
mit seinem Griff, ohne ohne
den es ja doch nicht zu brauchen ist. | ✓ ? |
Das, was A ausser dem Schema
enthält, darf dann nur das sein, was zur Applikation des
arithmetischen Schmemas notwendig ist.
Notwendig ist aber gar nichts, denn wir verstehen und wenden die arithmetischen Sätze sehr wohl an, ohne irgend einen Zusatz zu ihnen. Dazu gehört aber vor allem nicht die Bildung einer Tautologie, wie wir in jener Tautologie selbst sehr gut sehen, denn sonst müssten wir, um sie als Tautologie zu erkennen, wieder eine andere als Tautologie erkennen und so fort. | ✓ ? |
| ⌊⌊
Daß wir den Kalkül ohne Tautologie mit Strichen machen
können zeigt daß wir für ihn keine Tautologien
brauchen. Alles was nicht zum Zahlenkalkül gehört
ist Beiwerk. ⌋⌋ |
| ⌊⌊
3 + 2 =
5 muß Teil des Kalküls auch der Tautologie
sein. ⌋⌋ |
Die arithmetischen
Sätze dienen, wie Multiplikationstabellen und dergleichen,
oder auch wie Definitionen, auf deren beiden Seiten nicht ganze
Sätze stehen, zur Anwendung auf die
Sätze. Und auf etwas Anderes kann ich sie ja so wie
so nicht anwenden. (Ich brauche also nicht erst
irgendwelche Beschreibung ihrer Anwendung.] | ✓ ? |
Keiner Untersuchung der Begriffe, nur die
direkte Einsicht ˇin den Zahlenkalkül kann
vermitteln, dass
3 + 2
= 5. Das ist es, was sich in uns auflehnt gegen die Annahme, dass A der Satz 3 + 2 = 5 sein könnte. Denn das, wodurch wir diesen Ausdruck als Tautologie erkennen, kann sich selbst nicht aus einer Betrachtung von Begriffen ergeben, sondern muss unmittelbar sichtbar sein. | ✓ / \ |
Und wenn wir sagen, die Zahlen seien Strukturen, so meinen wir, sie
müssen immer von der Art dessen sein, wodurch wir sie
darstellen. | ✓ / \ |
Ich meine: Die Zahlen sind das, was ich in meiner
Sprache durch die Zahlenschemata darstelle.
D.h. ich nehme (sozusagen) als das mir Bekannte die Zahlenschemata der Sprache, und sage: Die Zahlen sind das, was diese darstellen. Das entspricht dem, was ich seinerzeit meinte, als ich sagte: Die Zahlen treten mit dem Calcül in die Logik ein. | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Statt um eine Definition der Zahl handelt es
sich mir um die Grammatik der Zahlwörter. ⌋⌋ |
|
Wo für ein Maßphänomen des
Gesichtsraumes überhaupt das Bedürfnis nach einer
Erklärung vorhanden ist, d.h. die
Möglichkeit einer Erklärung, dort sie also auch gegeben
werden können, und ohne Widersprüche. ⌊⌊ Folgen hier unendlich viele Sätze aus einem Satz? |–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–| ⌋⌋
72 | ✓ ? |
| ⌊⌊
(|–––––––|–––––––|–––––––|6 Folgen hier
unendlich viele Sätze aus einem Satz?|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–|–| ⌋⌋ |
Folgt aus “a ist weiss”, “b ist weiss”? Nein, denn “b ist weiss” hat nur Sinn, wenn b durch Farbgrenzen gegeben ist. | ✓ / \ |
Wie ist es, wenn man an ein Objekt des Gesichtsraumes
einen Maßstab zeitweilig anlegt.
Ist es auch dann gemessen, wenn der Maßstab nicht da
ist? Ja, wenn die Identität des Gemessenen mit dem Nichtgemessenen überhaupt mit Sinn festgestellt werden kann. | ✓ |
Wenn ich sagen kann: “Diese Strecke
habe ich gemessen und sie war dreimal so
lang als jene”,
dann hat es einen Sinn und ist richtig zu sagen,
dass die Strecken auch jetzt im selben
Verhältnis zu einander stehen. | ✓ ? ? |
| ✓ / \ ? |
Es ist offenbar möglich,
dass mir die Strecken a und b
gleichlang erscheinen, dass mir auch die
Stücke c und d gleichlang erscheinen,
dass aber ihre Zählung ergibt,
dass ich 25 c und 24 d
habe. Hier haben wir die Frage: Wie kann das
möglich sein? Ist es hier richtig zu sagen:
[e|E]s ist eben so, und wir sehen nur,
dass der Gesichtsraum nicht den Regeln
– etwa – des euklidischen
Raumes folgt. Das würde
heissen, dass die
Frage “wie kann das möglich
sein” unsinnig und also unberechtigt
wäre. Hierin läge also gar nichts
paradoxes, sondern wir hätten das nur
einfach hinzunehmen. – Ist es aber
denkbar, dass a gleich
b und die c gleich den d erscheinen und von den
c und d übersehbare ungleiche
Anzahlen vorhanden sind? Oder soll ich nun sagen, dass eben doch auch im Gesichtsraum etwas anders scheinen kann, als es ist? Gewiss nicht! Oder, dass n-mal eine Strecke und n + 1 mal dieselbe Strecke im Gesichtsraum eben das Gleiche ergeben können? Ebensowenig! Es sei denn, dass es überhaupt keinen Sinn hat, von Strecken im Gesichtsraum auszusagen, dass sie gleich sind. Dass es also auch für den Gesichtsraum allein einen Sinn hätte von einem “Scheinen” zu reden und dieser Ausdruck nicht nur das Verhältnis zweier unabhängiger Erfahrungen beträfe. Dass es also ein absolutes Scheinen gäbe. Also vielleicht auch eine absolute Verschwommenheit, oder eine absolute Unklarheit. (Während meine Auffassung ist, dass etwas nur [v|g]egen etwas von uns als Ziel der Klarheit der K Gesetztes verschwommen oder unklar sein kann; also relativ.) | ✓ / \ |
Kann ich mich denn – im ersten Fall – wenn ich die Zahl
nicht “mit einem
Blick” erfassen kann, nicht beim
Bestimmen dieser Zahl irren? Oder: besteht dann
a und b überhaupt aus einer Zahl von Teilen
– im gewöhnlichen Sinn – wenn ich diese Zahl nicht
in a und b sehe? Es scheint
mir nämlich, als ob ich allerdings auch nicht das Recht
hätte, etwa zu schliessen,
dass von den c und d die gleiche
Anzahl vorhanden sein müssen. Und zwar auch
dann nicht, wenn die Zählung wirklich die gleiche Zahl
ergibt! Ich meine: Auch dann nicht, wenn
es nie vorkäme, dass
die bei gleichem a und b
etc. die Zählung verschiedene Resultate
liefert. (Das zeigt übrigens, wie schwer es ist, das wirklich Gesehene zu beschreiben.) Angenommen aber, wir hätten das Recht, von einer Zahl von Teilen – wohl gemerkt, immer im rein Gesehenen – zu reden, auch wenn wir die Anzahl nicht unmittelbar sehen; dann käme die Frage: Kann ich denn sicher sein, dass das was ich zähle wirklich die Zahl ist, die ich sehe, oder vielmehr, deren visuelles Resultat ich sehe. Könnte ich ⌊⌊ Was sollen hier „verschwommen” & „bestimmt” für eine Bedeutung haben?7 ⌋⌋ 73 sicher sein,
dass nicht in einem Moment die Anzahl der
Teile von 24 auf 25 wechselt, ohne dass ich
es wahrnehme? Was wäre denn davon die
Verification?? | ✓ / \ |
Wenn ich
a =
b und c = d sehe und ein anderer
zählt die Teile und findet gleichviel, so werde ich das
jedenfalls nicht als meinem Gesehenen widersprechendend
fin empfin[g|d]en. Es
ist mir aber auch bekannt, dass ich das
Gleiche sehen kann, wenn in a 25 c und b 24
d sind. daraus kann ich
schliessen, dass ich
das Mehr oder Weniegr eines Teils nicht
bemerke und also auch nicht bemerken kann, wenn die Anzahl der Teile
in b zwischen 24 und 25 wechselt. | ✓ / \ |
Wenn man aber nicht sagen kann,
dass in a und b eine bestimmte
Anzahl von Teilen ist, wie soll ich das Gesichtsbild dann
beschreiben? Es zeigt sich – glaube ich –
hier, dass das Gesichtsbild viel
complizierter ist, als es auf den ersten Blick
zu sein scheint. Was es so viel
complizierter macht, ist
z.B. der Faktor, den die Bewegung des
Auges erzeugt. Wenn ich etwa das auf einen Blick Gesehene statt durch die Wortsprache durch ein gemaltes Bild beschreiben sollte, so dürfte ich nicht alle Teile c und d wirklich malen. Statt dessen müsste ich an manchen Stellen etwas “Verschwommenes”, also etwa eine graue Partie malen. | ✓ – |
“Verschwommen” und “unklar” sind
relative Ausdrücke. Wenn es oft nicht so scheint so
kommt es daher, dass wir die gegebenen
Phänomene noch zu wenig in ihrer wirklichen Beschaffenheit
erkennen, dass wir sie uns primitiver denken,
als sie sind. So ist es z.B.
möglich, dass kein wie immer geartetes
färbiges Bild im Stande ist, den Eindruck der “Verschwommenheit”
richtig darzustellen. Daraus folgt aber nicht,
dass eben das Gesichtsbild an und für
sich verschwommen ist und darum nicht durch ein wie immer
geartetes bestimmtes Bild dargestellt werden kann.
Sondern es würde das nur darauf hindeuten,
dass – eta durch die
Bewegung der Augen – ein Faktor in das Gesichtsfeld
eintritt, den das gemalte Bild allerdings nicht wiedergeben
kann, der aber an sich so “bestimmt” ist,
wie jeder andere. Man könnte dann sagen, dass
wirklich [g|G]egebene sei relativ zu dem gemalten Bild
noch immer unbestimmt oder verschwommen, aber eben nur, weil wir
das gemalte Bild dann willkürlich zum Standard für das
Gegebene setzen, das eine grössere
Mannigfaltigkeit hat, als die malerische Darstellung. | ✓ / \ |
| ⌊⌊ Was sollen hier
„verschwommen” & „bestimmt”
für eine Bedeutung haben? ⌋⌋ |
Wenn wir
wirklich 24 und 25 Teile in a und b sähen,
dann könnten wir a und b nicht als gleich
sehen. Ist dies falsch, so muss Folgendes möglich sein. Es müsste möglich sein unmittelbar zwischen den Fällen zu unterscheiden, wenn a und b beide gleich 24 sind und wenn a 24 und b 25 ist, aber es wäre nur möglich, die Zahlen der Teile zu unterscheiden, nicht aber die resu[k|l]tierende Länge von a und b. | ✓ |
Man könnte
das einfacher auch so sagen: Es
müsste dann möglich sein
unmittelbar zu sehen, dass eine Strecke aus
24 Teilen, die andere aus 25 ebenso grossen
Teilen zusammengesetzt ist, ohne dass es
möglich wäre, zwischen den resultierenden
Längen zu unterscheiden. – Ich glaube,
dass das Wort “gleich” auch
für den Gesichtsraum eine Bedeutung hat, die dies zum
Widerspruch stempelt. | ✓ ? |
E Erkenne ich 2 Strecken des
Gesichtsraums dadurch als gleich, dass ich sie
nicht als ungleich erkenne? Das ist eine sehr
weittragende Frage. Könnte ich nicht nach einander zwei Eindrücke haben: In einem eine Strecke, die sichtbar in 5 Teile, das andere Mal eine Strecke, die ebenso in 6 Teile geteilt wäre ⌊⌊ Wenn wir die Bedeutung des Wortes „Gleich” für den … verwechseln wir die Gleichheit im Gesichtsfeld mit der Gleichheit zweier Strecken im Eukl. Raum & allgemein die Bedeutung der Wörter für den Gesichtsraum mit denen der gleichen Wörter für den eukl. R. so kommen wir natürlich zu auf [w|W]idersprüchene & sind dann versucht zu glauben, wir müßten Erklärungen über unsere Erfahrung abgeben um diese Widersprüche zu vermeiden, [ … wir müßten eine Sichtung unserer Erfahrungen du vornehmen, ] ⌋⌋ 74 und ich könnte doch nicht sagen,
dass ich die Teile oder die ganzen Strecken
als verschieden lang gesehen habe. Würde
ich gefragt: “Waren die
Strecken verschieden lang oder gleich lang”, so könnte ich nicht antworten “ich habe sie verschieden lang
gesehen”, denn es ist mir,
sozusagen, kein Längenunterschied “aufgefallen”. Und doch könnte ich – glaube ich
– nicht sagen ich habe sie als gleichlang gesehen.
Andererseits könnte ich aber doch nicht sagen:
“Ich
weiss nicht, ob sie gleich lang oder
verschieden waren”
(ausser das Gedächtnis hätte
mich verlassen), denn das heisst nichts,
solange ich nur vom unmittelbar Gegebenen rede. | ✓ |
| ⌊⌊ Wenn wir die Bedeutung
des Wortes „Gleich”
für den … verwechseln wir die Gleichheit im Gesichtsfeld
mit der Gleichheit zweier Strecken im euklidischen Raum & allgemein die Bedeutung der Wörter
für den Gesichtsraum mit denen der gleichen Wörter für
den euklidischen Raum so kommen wir
zu Widersprüchen auf Widersprüche & sind
dann versucht zu glauben, wir müßten
Erklärungen über unsere Erfahrung abgeben um
diese Widersprüche zu vermeiden, … wir müßten
eine Sichtung unserer Erfahrungen vornehmen, ] ⌋⌋ |
Es kommt
darauf an, gewisse Widersprüche zu erklären, wenn wir auf
den Gesichtsraum die Schlussweisen des
euklidischen Raumes anwenden.
Ich meine: Es ist möglich im Gesichtsraum einer Konstruktion (also einer Schlusskette) zu folgen, deren sämtliche Schritte (Uebergänge) wir einsehen, deren Resultat aber unseren geometrischen Begriffen widerspricht. | ✓ / \ |
Ich glaube nun,
dass kommt immer daher, dass wir die
Konstruktion nur gliedweise, aber nicht als Eines sehen
können. Diese Erklärung wäre also,
dass es gar keine visuelle Konstruktion
gibt, die aus diesen einzelnen visuellen Stücken
zusammengesetzt wäre. Das
wäre etwa so, wie wenn ich jemanden einen
kleinen Ausschnitt einer grossen
Kugelfläche zeigte und ihn fragte, ob er den darauf sichtbaren
grössten Kreis als Gerade
anerkennt, und wenn er das getan hätte, so drehte ich die
Kugel und würde ihm zeigen, dass
er wieder zur selben Stelle des Kreises zurückkäme.
Ich habe ihm aber auf diese Weise doch nicht bewiesen,
dass etwa eine Gerade des Gesichtsraumes in
sich selbst zurückläuft. | ✓ |
Diese
Erklärung wäre also: Das sind visuelle
Stücke, die sich aber nicht zu einem visuellen
Ganzen zusammensetzen, oder jedenfalls nicht zu dem Ganzen, dessen
letztes Resultat ich am Schluss zu sehen
glaube. | ✓ |
Die einfachste
Konstruktion dieser Art wäre ja die obere zweier gleichlanger
Strecken, in deren einer ein Stück n-mal abzutragen
geht und in der anderen n + 1
mal. Die Schritte der Konstruktion wären
das Fortschreiten von einem Teilstück zum anderen und das
Konstatieren der Gleichheit dieser Stücke.
Hier könnte man erklären, dass ich durch dieses Fortschreiten nicht wirklich das ursprüngliche Gesichtsbild mit den gleichlangen Strecken untersuche. Sondern sich der Untersuchung etwas Anderes vorschiebt, das dann zu dem verblüffenden Resultat führt. | ✓ |
Gegen diese
Erklärung gibt es aber einen Einwand. Man könnte
sagen: Wir haben dir ja, als du die einzelnen Teile
prüftest, nicht einen Teil der Konstruktion
zugehalten. Du konntest also sehen, ob sich
inzwischen am Uebrigen etwas verändert,
verschoben, hat. Ist das nicht geschehen, so
konntest du ja doch sehen, dass alles mit
rechten Dingen zuging. | ✓ |
Von der Teilbarkeit im
Gesichtsraum zu reden hat einen Sinn, denn es
muss [d|s]ich in einer
Beschreibung ein ungeteiltes Stück durch ein geteiltes ersetzen
lassen. Und dann ist es klar, was nach dem, was ich
früher ausgeführt habe, die unendliche Teilbarkeit dieses
Raumes bedeutet. | ✓ |
| ⌊⌊
Der Gesichtsraum ist unendlich teilbar, heißt nur:
er setzt der Teilung keine sichtbare Grenze. Wenn ich
z.B. eine Strecke in ihm sehe. ⌋⌋ ⌊⌊ π' kann man natürlich eine Zahl nennen, – wenn man sich damit abfindet daß sie mit π nicht vergleichbar ist etc. etc. ⌋⌋ 75 |
| ⌊⌊ Die Lösung der ganzen
Schwierigkeiten in diesem langen Kapitel besteht darin, daß
das Wort irrationale Zahl sehr viele verschiedene Bedeutungen
hat. π' kann man natürlich eine Zahl nennen, – wenn man sich damit abfindet daß sie mit π nicht vergleichbar ist etc. etc. ⌋⌋ |
| ✓ |
Es ist also so, als
wären die Ziffern tote Excretionen des
lebenden Wesens der Wurzel. Wie wenn eine Schnecke durch
ihren Lebensprozess Kalk absondert
und ihr Haus weiterbaut. | ✓ |
Die
Ziffernregeln müssen erst da sein, dann drückt sich in ihnen
– z.B. – eine Wurzel aus.
Aber dieser Ausdruck der Zifferfolge ist nur dadurch
von Bedeutung, dass er der Ausdruck einer
reellen Zahl ist. Wenn man ihn nachträglich
ändert, so hat man damit nur den Ausdruck gestört, aber
nicht eine neue Zahl gewonnen. | ✓ |
Die Ziffernregeln gehören an den Anfang, als Vorbereitung zum
Ausdruck. Zum Bau des Systems, in dem sich das Gesetz auslebt. | ✓ |
Ich würde also sagen: Wenn
V'2
überhaupt etwas ist, dann dasselbe wie
V2, nur
ein anderer Ausdruck; der Ausdruck in einem andern System.
| ✓ / \ |
Man könnte es dann auch ganz naiv so
sagen: Was 4V'2
heisst, verstehe ich, nicht aber
V'2, weil ja die
V2 gar keine Stellen hat,
ich also auch keine durch andere ersetzen kann. | ✓ |
Wie ist es mit
| ✓ |
Dem Gesetz 0,1010010001 … greift der Zusatz
“
| ✓ |
Die Regel V'2 ist
ganz gut für einen, der die Wurzel wirklich entwickelt.
Und das Argument für diese Zahl ist auch immer,
dass, wer sie entwickelt, genau versteht,
was er zu schreiben hat. Aber das ist kein Argument
dafür, dass V'2 eine reelle Zahl
ist. Die Vorschrift, Ziffern zu reihen ist ganz unmissverständlich, nur gibt dies noch keine reelle Zahl. (Sondern etwas was eine gewisse Ähnlichkeit mit einer reellen Zahl hat!) | ✓ |
Könnte man etwa so sagen, die
V'2
misst nicht, ehe sie in einem System
ist. ˇ Gewiß darum ist sie keine reelle Zahl wie
etwa die √2 | ✓ |
Es ist, als ob man zur
Durchführung der Regel V'2 einen Menschen
brauchte. Quasi: Die Regel, um eine
arithmetische Angelegenheit zu sein, muss
sich selbst verstehen. Die Regel
V'2 tut das nicht, sie
ist aus [2| zwei] heterogenen Bestandteilen
zusammengesetzt. Der Mensch, der sie anwendet, vereinigt
diese Bestandteile miteinandeder. 76 | ✓ |
|
Heisst das,
dass der Regel V'2 etwas abgeht,
nämlich die Verbindung des Systems der Wurzel mit dem System
der Ziffernfolge? |
Man würde von der
Regel V'2
ebensowenig je sagen, sie sei eine Grenze, der die Werte der Reihe
zustreben, wie man es von der Vorschrift zu würfeln sagen
würde. | ✓ |
Wie weit
muss man die
V'2
V2 entwickeln, um sie
einigermaßen zu kennen? Das
heisst natürlich nichts. Wir
kennen sie also schon, ohne sie überhaupt zu
entwikkeln.
[W|D]ann aber bedeutet
V'2 überhaupt
nichts. | ✓ |
Die Idee der
V2 ist die: Wir
suchen eine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2
ergibt. Die gibt es nicht. Aber es gibt welche,
die der 2 auf diese Weise nahe kommen und immer solche, die der
2 näher kommen. Es gibt ein Verfahren, das mir
erlaubt der 2 unbegrenzt näher zu kommen. Dieses
Verfahren ist auch etwas. Und ich nenne es eine reelle
Zahl. Es drückt sich dadurch aus, dass es immer weiter rechts liegende Dezimalstellen eines Dezimalbruches liefert. | ✓ |
Nur, was an der Ziffernfolge vorauszusehen ist, ist für die
reelle Zahl wesentlich. | ✓ |
Dass man das Gesetz anwenden kann, gilt
auch von dem Gesetz die Ziffern zu würfeln. | ✓ |
Und das was II'
davon unterscheidet, kann nur die arithmetische Bestimmtheit
sein. Besteht die aber nicht darin,
dass wir wissen, es
muss ein Gesetz geben, nach dem die Ziffern
7 in II
auftreten, wenn wir dieses Gesetz auch noch nicht kennen?
| ✓ / \ |
Man könnte also auch so sagen II'
spielt auf ein noch unbekanntes Gesetz an.
(
| ✓ / \ |
Könnte man nun aber
nicht sagen: II'
enthält die Beschreibung eines Gesetzes.
Nämlich “das Gesetz
nach welchem 7 in der Entwicklung von II
vorkommt”. Oder hätte
diese Anspielung nur dann einen Sinn, wenn wir wissen, wie wir
dieses Gesetz erhalten können.
(Lösung eines mathematischen Problems).
| ✓ |
Dann kann ich eben dieses Gesetz ex
confesso nicht aus dieser Vorschrift
herauslesen und
| ✓ |
Wie ist es denn aber mit
der Lösbarkeit des Problems, dieses Gesetz zu finden?
Ist denn das nicht nur insoweit ein Problem, als die Methode
seiner Lösung bekannt ist?
Und ist sie bekannt, so bekommt eben II' dadurch seinen Sinn, und wenn unbekannt, so können wir von dem Gesetz, was wir noch nicht kennen, nicht reden, und II' 77
verliert allen Sinn. Denn liegt kein Gesetz vor, so wird
das II'
der Vorschrift des Würfelns analog. | ✓ ✓ |
Die reelle
Zahl lebt in dem Substrat der Operationen aus dem sie
[b|g]eboren ist. | ✓ |
Man könnte auch
sagen: “V2” heisst die Approximationsmethode
eines x² an 2. | ✓ |
Nur ein Weg nähert sich einem Ziel, nicht Orte. Und
nur ein Gesetz nähert sich einem Wert. | ✓ |
Die Annäherung von x² an 2 nennen
wir die Annäherung von x an V2.
| ✓ |
Die Ersetzung von 7 durch 3 – in
II etwa – ist
von keiner allgemeinen arithmetischen Bedeutung. | ✓ |
Es ist aber doch ein arithmetischer Mechanismus, der
II'
erzeugt. – Und ich könnte nur sagen:
“Aber ich verstehe ihn
nicht”. | ✓ |
Wenn ich
sage “arithmetischer
Mechanismus”, so meine ich: das
Auftreten der 7 in II
hängt nur vom Wesen des II und des
Dezimalsystems ab. | ✓ |
Angenommen, es
fände erfände jemand eine neue
arithmetische Operation, die die normale Multiplikation
wäre, nur mit der Abänderung, dass
er im Produkt statt jeder 7 eine 3 setzte. Dann
hätte auch diese Operation x/
× ' das
[u|U]nverstandene an sich, solange das Auftreten der 7
im Produkt nicht allgemein durch ein Gesetz verstanden
wäre. | ✓ |
Es ist das, als sollte
ich einen Weg gehen, der aus einzelnen Stücken besteht, die
zwar zusammenhängen, deren relative Richtungen mir aber
verhüllt wären. | ✓ |
Hier wäre eben das Merkwürdige,
dass mein Symbolismus etwas
ausdrückte, was ich nicht verstehe.
(Das gibt es aber nicht.) | ✓ / \ |
Auch wenn
mir die
Bildungsvorschriften der V2
nicht bereits bekannt wäre und ich mir
V'2
als die primäre Vorschrift denke, würde ich doch
fragen: Was hat diese merkwürdige Zeremonie
der Ersetzung der 7 durch 3 für einen Witz? Ist am
Ende die 7 Tabu dass man sie nicht
hinschreiben darf? Denn das Ersetzen der 7 durch 3
fügt ja dem Gesetz gar nichts hinzu und ist in diesem
System gar keine arithmetische Operation. | ✓ |
| Geometrisch gesprochen: Es
genügt nicht, dass man den Punkt durch
Verkleinerung seines Aufenthaltsortes – angeblich – mehr
und mehr bestimmt, sondern man muss
ihn konstruieren können.
Fortgesetztes Würfeln schränkt zwar den möglichen Aufenthalt des Punktes unbe-schrän ⌊⌊ Projektion der Endlosigkeit eines Kreises in die Endlosigkeit der Geraden. ⌋⌋ 78
schränkt ein, aber es bestimmt keinen
Punkt. Der Punkt ist nach jedem
Wurf noch unendlich unbestimmt. |
Freilich, auch im
Verlauf des normalen Wurzelziehens müssen immer wieder die,
gerade passenden, Regeln des Einmaleins angewendet werden,
und man hat ihre Anwendung auch nicht vorhergesehen.
Aber es ist auch von ihnen und ihrer Anwendung im Prinzip der
V2
nicht die Rede. | ✓ |
(Zahl ist nur das,
wofür ich “grösser”, “kleiner”,
etc. definiert habe). Eine Zahl muss messen. Und zwar nicht nur: Werte ihrer Entwicklung müssen messen. Denn, von allen Werten kann man nicht geredet werden, und, dass rationale Zahlen (die ich nach irgend einer Vorschrift gebildet habe) messen, ist selbstverständlich. | ✓ |
Was ich meine, könnte man so ausdrücken,
dass zu einer reellen Zahl eine
Konstruktion und nicht bloss eine
Approximation denkbar sein muss. – Die Konstruktion entspricht der Einheit des
Gesetzes. | ✓ |
| ✓ ✓ |
| ⌊⌊ Projektion der Endlosigkeit
eines Kreises in die Endlosigkeit der Geraden. ⌋⌋ |
Hat denn
II'
nicht einen bestimmten Ort in der Zahlenreihe?
Freilich, ich könnte sagen, es hat nur ein bestimmtes Interval, den genauen Ort kann ich nicht angeben. Aber kann ich denn den Ort von e anders angeben? Der Mangel einer Konstruktion! Wenn ich e auch nicht graphisch konstruieren kann, so ist scheinbar das Gesetz selber eine Konstruktion in einem andern Raum, in dem e nun doch genau zu bestimmen, d.h. also zu bestimmen, ist. | ✓ |
Eien reelle Zahl liefert
Extensionen, sie ist keine Extension. Die reelle Zahl ist: Ein arithmetisches Gesetz, welches endlos die Stellen eines Dezimalbruchs liefert. Dieses Gesetz hat seinen Ort im arithmetischen Raum. Oder man könnte auch sagen: im algebraischen Raum. Während II' sich nicht der arithmetischen Ausdrucksweise bedient und dem Gesetz darum keinen Platz in diesem Raum anweist. Es fehlt quasi das arithmetische Lebewesen, das diese Excretionen produziert. Die Unvergleichbarkeit der Grössen von II und II' hängt mit dieser Heimatlosigkeit von II' zusammen. | ✓ ✢ ✓ |
Man kann nicht
sagen: Zwei reelle Zahlen sind identisch, wenn sie in
allen Stellen übereinstimmen. Man kann nicht
sagen: Sie sind verschieden, wenn sie an einer Stelle
ihrer Entwicklung nicht übereinstimmen. Man kann
ebensowenig sagen, die eine sei
grösser als die andere, wenn
die erste ihre erste nicht
übereinstimmende Stelle grösser
sei als die entsprechende der andern. 79 | ✓ |
Gewiss,
wenn a und b an der vierten Stelle zum ersten Mal nicht
übereinstimmen, so kann man sagen,
dass sie darum ungleich sind. Diese
vierte Stelle gehört eben zu den beiden Zahlen; aber nicht die
n-te unbestimmte im unendlichen Verlauf. | ✓ |
Man kann
daher die Verschiedenheit von II und e
wohl daran erkennen, dass ihre
erste Stelle verschieden ist. Aber man kann
nicht sagen, sie wären gleich, wenn alle ihre Stellen gleich
wären. | ✓ |
Stimmen die Extensionen zweier
Gesetze bis auf weiteres überein und kann ich die Gesetze als
solche nicht vergleichen, so sind die definierten Zahlen, wenn ich
ein Recht habe von solchen Zahlen zu reden, unvergleichbar, und die
Frage, welche grösser ist, oder ob
sie einander gleich sind, ist unsinnig. Ja, eine Gleichung,
die die beiden einander gleichsetzt, muss
unsinnig sein! Und das gibt zu denken. Und es
ist wahr, wir können nichts damit meinen, sie einander
gleichzusetzen, wenn zwischen ihnen keine innere Verbindung
besteht; wenn [d|s]ie verschiedenen Systemen
angehören. (Und die Extension kann uns nicht
helfen.) | ✓ |
Aber sind das denn
wirklich zwei Zahle[h|n], die miteinander
unvergleichbar sind? Widerspricht das nicht der einfachen Vorstellung von der Zahlengeraden? | ✓ |
Könnte man aber nicht auch umgekehrt
II'
als das ursprüngliche und also den zuerst angenommenen Punkt
betrachten, und dann über die Berechtigung von
II im Zweifel sein?
Was ihre Extensionen betrifft, sind sie natürlich gleichberechtigt. Im Uebrigen aber nicht. | ✓ |
Ist die Operation × ' mit
×
gleichberechtigt? Wenn es so ist, wie es mir scheint, dass nämlich eine Operation wie × ' nicht mit den arithemtmetischen Operationen gleichberechtigt ist, dann ist der Einwand klar, den man gegen II' zu machen hat. Ich kenne die Gesetze nicht, denen × ' gehorcht. Ich weiss z.B. nicht unter welchen Bedingungen a × ' b = a × b ist. Diese Unkenntnis der Gesetze scheint das Entscheidende zu sein. Sie macht es z.B. unmöglich, das × ' jemals anzuwenden. | ✓ ∫ |
Ist es nicht so:
Solange man mit Strichen rechnet kann man eine Operation
nicht ausführen, ohne sie zu verstehen und wenn ich im Stande
wäre × ' in eine
Operation zu übersetzen, die das Dezimalsystem in keiner Weise
mehr voraussetzt und mit Strichen arbeitet, dann wäre
× ' eine
verstandene, mit den andern arithmetischen gleichberechtigte,
Operation. | ✓ |
Es ist klar,
dass, wenn ich die
× '
× ' anwenden
könnte, alle Zweifel über die Berechtigung behoben
wären. Denn die Möglichkeit der Anwendung ist das
eigentliche Crit[ä|e]rium
für die arithmetische Wirklichkeit. 80 | ✓ |
Die Entwicklung von
II ist zugleich
ein Ausdruck des Wesens von II und des
Wesens des Dezimalsystems. | ✓ |
Die
arithmetischen Operationen gebrauchen das Dezimalsystem nur als Mittel
zum Zweck; die Operationsregeln sind also solcher Art,
dass sie sich in die Sprache jedes anderen
Zahlensystems übersetzen lassen und keines von ihnen zu ihrem
Gegenstand haben. Die Entwicklung von II ist zwar ein Ausdruck sowhl des Wesens von II als auch der Dezimalnotation, aber unser Interesse gehört, für gewöhnlich, ausschliesslich dem für II Wesentlichen, und um das andere kümmern wir uns nicht. Das ist ein Diener, den wir nur als Werkzeug betrachten, [U|u]nd nicht selbstberechtigtes Wesen. Betrachten wir ihn aber nun als Teil der Gesellschaft, so hat sich die Gesellschaft damit verändert. | ✓ |
Eine allgemeine
Operationsregel hat ihre Allgemeinheit durch die Allgemeinheit
der Veränderung, die sie an den Zahlen hervorbringt.
Darum taugt × ' nicht als
allgemeine Operationsregel, weil das Resultat von
a × ' b nicht
bloss vom Wesen der Zahlen a und
b abhängt sondern ausserdem das
Dezimalsystem mit hineinspielt. Nun würde es
freilich nichts machen, wenn dieses System als eine weitere
Constante der Operation zu Grunde läge
(S
| ✓ |
Genau so macht
II'
das Dezimalsystem zu seinem Gegenstand (oder
müsste es machen, wenn es richtig
wäre) daher genügt jetzt nicht mehr,
dass man die Regel bei der Bildung der
Extension anwenden kann. Denn diese Anwendung ist jetzt
nicht mehr das Criterium dafür,
dass die Regel in Ordnung ist, denn
[d|s]ie ist gar nicht der Ausdruck des
arithmetischen Gesetzes, sondern ändert nur
äusserlich an der Sprache. | ✓ |
Wenn es also nicht mehr Diener sein soll, dann
muss es sich in aller Form zu den andern an
die Tafel setzen und muss daher das Bedienen
lassen, [D|d]enn beides zuglei[v|c]h kann es
nicht tun. | ✓ |
Es ist so:
Die Zahl II ist im
Dezimalsystem dargestellt. Eine Modifikation
dieses Gesetzes kann man nicht dadurch erzeugen,
dass man an den spezifischen Ausdruck des
Dezimalsystems anknüpft. Was man so
beeinflusst, ist gar nicht das Gesetz,
sondern sein zufälliger Ausdruck. Diese
Beeinflussung dringt ja gar nicht bis zum Gesetz. Sie
steht ja abgesondert von ihm auf der andern Seite. Es ist,
wie wenn man ein Lebewesen beeinflussen wollte, indem man
auf die bereits abgeschiedene Secretion
einwirkt. | ✓ |
Wie ist es aber mit einem Gesetz
S1 S
81 | ✓ |
Die Zahl
muss an und für sich messen.
Das scheint mir quasi ihr Amt. Tut sie das nicht, überlässt sie das den rationalen Zahlen, so brauchen wir sie nicht. | ✓ |
Der nachträgliche Beweis der
Convergenz kann nicht die Auffassung als Zahl
rechtfertigen. Wo sich die Convergenz zeigt, da müsste die Zahl zu suchen sein. Doch er macht etwas andres aus ihr. | ✓ ✢ |
Ich will
zeigen, dass, was immer ich hinter den
Hundertsteln anhänge, nie auch nur um ein Hundertstel die Zahl
vergrössern kann. Denn dazu
brauchte ich
| ✓ |
Das, was wir
sehen ist eine Induktion. | ✓ |
| Ich glaube es wird
|
Die
Ineinanderschachtelung ist ein Vorgang der Induktion und als solchen
kann man sie als Punkt auffassen. | ✓ |
Denn die
Spirale muss sich ja von
Hetz von jetzt an selbst
überlassen bleiben. Es darf kein weiteres Problem geben: Was wohl mit ihr geschehen wird. | ✓ |
◇
| ✓ ✓ ✢ |
Das eigentliche Wesen der
reellen Zahl muss die Induktion sein.
Was ich an der reellen Zahl sehen muss,
ihr Zeichen, ist die Induktion. – Das
So von dem man sagen kann “und so weiter”. | ✓ |
Es würde aus dem
Allen hervorgehen, dass man bei der reellen
Zahl ohne Weiteres –
d.h., ohne eine bestimmte Stufe ihrer
Entwicklung zu geben, – nicht von
grösser und
kleiner reden kann. | ✓ |
Das hat
damit zu tun, dass es für die reellen
Zahlen keine [E|e]inheitliche Notation gibt, im
Gegensatz zu den rationalen Zahlen. Solange man an die
unendliche Extension 82 glaubt, kann man sagen:
Das Zeichen für eine reelle Zahl ist ein
unendlicher Dezimalbruch. Das können wir aber nicht
mehr sagen. | ✓ |
Ist es möglich, zu
beweisen, dass a
grösser ist als b, ohne beweisen zu
können, an welcher Stelle der Unterschied zu Tage treten
wird? Ich glaube nicht. | ✓ |
Was
für eine Beziehung hat der Beweis, dass
a grösser als b ist zu dem
Unterscheid, der sich in den
Exte[s|n]sionen zeigt? | ✓ |
Kann man
Lagen der Spiralen vergleichen, ohne von einzelnen Gängen zu
reden? | ✓ |
Die Spirale, wenn ihr
Gesetz einmal gegeben ist, läuft automatisch einem Ziele
zu. Ist das aber wahr? Sie läuft automatisch weiter. Aber läuft sie gegen ein Ziel? Läuft sie gegen ein Ziel, so muss dieses Ziel in ihr liegen; und sie muss mi[5|t] dem Ziel äquivalent sein. Dann müsste sie aber mit jedem anderen Ziel vergleichbar sein. Wenn das Gesetz nicht selber das Ziel ist, die Entwicklung kann es ihm nicht geben. | ✓ |
Es wäre eine gute
Frage für die Scholastiker gewesen: “Kann Gott
alle Stellen von II
kennen?” Die Antwort
lautet in allen solchen Fällen: Die Frage ist
sinnlos. | ✓ |
Ich sage: Der
sogenannte “Fermat'sche Satz” ist
kein Satz. (Auch nicht im Sinne der
Arithmetik). Ihm entspräche vielmehr ein
Induktionsbeweis. Wenn es nun aber eine Zahl F
gibt 0,11000 etc. und jener Beweis gelingt,
dann wäre doch damit bewiesen, dass
F = 0,11 und das ist
doch nun ein Satz! Oder: Es ist dann ein
Satz, wenn das Gesetz F eine Zahl ist. | ✓ |
Ein
Beweis beweist, was er beweist, und nicht mehr. | ✓ |
| Die Zahl F will die Spirale
S
Wenn ich mir Windungen der Spirale
|
So
entsteht auch das [p|P]aradox, dass
es unsinnig wird zu fragen, ob F = 0,11 ist.
[d|D]enn die Annahme von F beruht ja doch
auf der Annahme eines Gesetzes, eines unendlichen Gesetzes,
wonach sich die Zahlen in der
Fermat'schen Formel verhalten. – Was
83 | ✓ |
Man könnte freilich
sagen: Ist es denn mit II anders,
dort kenne ich ja auch kein Gesetz, dem die Ziffern der Entwicklung
folgen. – wie hier. Aber
so ist es nicht: Für
II kenne ich
ein Gesetz der Ziffernfolge nicht, weil diese ein Ausdruck der
Interferrenz des Gesetzes von
II und der
Dezimalnotation ist; dagegen bin ich im Stande das Gesetz von
II so
darzustellen, dass es von allem ihm
Unwesentlichen befreit und mir durchaus bekannt
ist. (Das Gesetz ist die Windung der
Spirale und diese Windung
muss mir
vollkommen bekannt sein, und weiter nichts.)
| ✓ |
Wenn das Gesetz, die Spiralwindung, eine Zahl ist, dann
muss sie ihrer Lage nach (auf der
Zahlengeraden) mit allen anderen vergleichbar sein.
Ich bestimme ja die Lage nach nichts anderem als dem Gesetz. | ✓ |
Nur was ich sehe, ist
ein Gesetz; nicht was ich beschreibe.
Ich glaube, nur das hindert mich, mehr in meinem Zeichen auszudrücken, als ich verstehen kann. | ✓ – |
Es tritt uns hier immer wieder etwas entgegen, was man “arithmetisches Experiment” nennen könnte. Was herauskommt, ist zwar
durch das Gegebene bestimmt, aber ich kann nicht erkennen,
wie es dadurch bestimmt ist.
(Aehnlich, wie es
z.B. mit dem Auftreten der 7 in
II
geht). So kommen auch die Primzahlen bei der Methode sie
zu suchen heraus, als Resultate eines Experiments. Ich
kann mich zwar davon überzeugen, dass
7 eine Primzahl ist, aber ich sehe den Zusammenhang nicht zwischen
ihr und der Bedingung der sie entspricht. –
Ich suche sie, aber ich erzeuge sie nicht. Ich habe sie nur gefufunden und nicht
erzeugt. Ichn suche sie, aber ich erzeuge sie nicht. Ich sehe wohl ein Gesetz in der Vorschrift, die mich lehrt die Primzahlen zu finden, aber nicht in den Zahlen, die dabei herauskommen. Es ist also nicht wie in & & +
| ✓ – |
Ich muss
ein Stück der Reihe anschreiben können, so
dass man das Gesetz
erkennt.
D.h., in diesem Angeschriebenen darf keine Beschreibung vorkommen, sondern alles muss dargestellt sein. | ✓ |
Die
Näherungswerte müssen selbst eine offenbare
Reihe bilden. D.h. die Näherungswerte selbst müssen sich in einem Gesetz beweneg. | ✓ |
Kann man denn
sagen, dass, wenn ich nicht die geometrische
Darstellung von II und
V2
kennte, mir diese Zahlen nur näherungsweise bekannt
wären? Gewiss nicht.
| ✓ |
Die Gleichung zwischen reellen Zahlen verhält sich also zu
ihrem Beweis, wie eine algebraische Gleichung zu dem
Induktionsbeweis, dem sie entspricht. Was ist aber das Verhältnis einer algebraischen Gleichung zu “ihrem” Induktiontionsbeweis. In dem Beweis ist etwas zu sehen und das wird in dem algebraischen Satz als gegebeben angenommen; d.h. der Satz wird so gewählt, dass dem Gegebenen Arithmetischen Rechnung getragen wird. ⌊⌊ Das wogegen ich mich hier wehre ist die Anschauung, daß man die unendliche Zahlenreihe etwas uns gegebenes ist worüber es nur spezielle Zahlensätze & auch allgemeine Sätze über alle Zahlen der Reihe gibt. So daß der arithmetische Kalkül nicht vollständig wäre wenn er nicht auch die allgemeinen Sätze über die Kardinalzahlen enthielte, nämlich allgemeine Gleichungen der Art a + (b + c) = (a + b) + c. Während schon 1 : 3 = 0˙3̇ einem andern Kalkül angehört als 1 : 3 = 0˙3. ⌋⌋ 84 nung
getragen wird. Damit das möglich ist, muss zwischen Beweis und Satz eine eindeutige symbolische Entsprechung bestehen. | ✓ |
Das hängt mit der Frage zusammen, ob man
2 = 2
verneinen kann, wie
2 × 35 =
70, und warum man eine Definition nicht verneinen
kann. | ✓ |
Der
algebraische Satz gewinnt immer nur arithmetische Bedeutung, wenn wir
statt der Buchstaben Ziffern in ihn einsetzen und dann immer nur
spezielle arithmetische Bedeutung.
Ein Seine Anwendung Allgemeinheit liegt nicht in ihm selbst, sondern in der Möglichkeit seiner richtigen Anwendung. Und für die muss er immer wieder auf die Induktion verweisen. D.h., er sagt seine Allgemeinheit nicht, er spricht sie nicht aus, sondern sie zeigt sich in der formellen Beziehung zu der Substitution, die sich als Glied der Induktionsreihe erweist. | ✓ L |
| ⌊⌊ Das wogegen ich mich hier wehre ist die
Anschauung, daß die unendliche Zahlenreihe etwas uns gegebenes ist
worüber es nur spezielle Zahlensätze & auch
allgemeine Sätze über alle Zahlen der Reihe gibt.
So daß der arithmetische Kalkül nicht vollständig
wäre wenn er nicht auch die allgemeinen Sätze über die
Kardinalzahlen enthielte, nämlich allgemeine Gleichungen der Art
a + (b + c)
= (a + b) + c. Während
schon 1 : 3 =
0˙3̇
einem andern Kalkül
angehört als 1 : 3 =
0˙3. ⌋⌋ |
Die
Allgemeinheit in der Arithmetik wird durch die
Induktion dargestellt. Die Induktion ist der Ausdruck für die arithmetische Allgemeinheit. | ✓ |
Wenn ich, wie in
V3 und
V2, sehen
kann, dass die eine Zahl
grösser ist als die andere, so
muss ich auch die Stufe der Entwicklung
angeben können, in der das zum Ausdruck kommt. | ✓ |
Die Kinder lernen in der Schule wohl
2 × 2 =
4, aber nicht 2
= 2. | ✓ \ |
Es gibt nur
besondere arithmetische Gleichungen. Die
Allgemeinheit in der Arithmetik hebt drückt
sich nicht durch eine Gleichung au[f|s], sondern durch eine
Induktionsbeziehung zwischen Gleichungen. | ✓ ✢ |
Muss nicht jede sinnvolle Gleichung eine
willkürliche Uebereinkunft
voraussetzen | ✓ |
Hat es also keinen Sinn
auch dann, wenn der Fermat'sche Satz bewiesen ist, zu sagen,
dass
F =
0,110̇
? (Wenn ich
etwa in der Zeitung davon läse[?|)]
Bezieht sich | ✓ |
Bezieht sich denn nicht
die Gleichung
| ✓ |
Das scheint eine gute
Regel zu sein, dass ich das eine Zahl nenne,
was mit jeder beliebigen rationalen Zahl vergleichbar ist.
D.h. wofür sich feststellen
lässt, ob es
grösser, kleiner oder gleich ist einer
rationalen Zahl. | ✓ |
Das
heisst, es hat Sinn nach Analogie ein Gebilde
Zahl zu nennen, welches zu den rationalen Zahlen Beziehungen hat,
die denen von grösser, kleiner und gleich
analolog (von der gleichen Multiplizität)
sind. 85 | ✓ |
Ich kann
F mit
| ✓ |
Das zeigt
nämlich, dass F gar keine Spirale
ist. Denn der Witz der Spirale ist,
dass ich an jedem beliebigen Punkt mit ihr
oben oder unten muss vorbeikommen
können. | ✓ |
Wenn die reelle
Zahl eine rationale Zahl a ist, so muss
der Vergleich ihres Gesetzes mit a das ergeben.
Das heisst, das Gesetz
muss so beschaffen sein,
dass es gleichsam in die rationale Zahl
einschnappt, wenn es an die entsprechende Stelle (dieser
Zahl) kommt. | ✓ L |
Es ginge
z.B. nicht an, dass man
nicht sicher sein könnte, ob
V25
wirklich bei 5 abbricht (oder ob vielleicht noch etwas
nachkommt). | ✓ |
Man könnte das auch so
sagen: Das Gesetz müsse so sein,
dass sich jede rationale Zahl darin
einsetzen und probieren lässt.
| ✓ |
Wie ist es aber dann mit der Zahl
P = 0,1110101
etc.. Angenommen einer behauptete,
sie würde periodisch und es hätte auch an irgend einer
Stelle den Anschein, dann müsste ich
die angenommene Zahl unmittelbar im Gesetz probieren können, wie
ich unmittelbar durch Multiplikation sehen kann, ob 1,414
die V2
ist. Das ist aber nicht möglich. | ✓ |
Das Charakteristische für das arithmetische Experiment ist,
dass etwas daran undurchsichtig
ist. | ✓ |
Wie konstatiere ich, ob
e grösser, kleiner, oder gleich
einer gegebenen Zahl ist? Wenn es ein abbrechender
Dezimalbruch ist, ist die Sache ja klar, aber wie ist es mit einem
im Dezimalsystem periodischen, mit dem die Entwicklung von e bis
auf weiteres übereinstimmt? Sind das nicht die
Grundfragen, die bei der Definition einer reellen Zahl beantwortet
werden müssen? | ✓ |
Der Beweis, der zeigt,
dass etwas die, einer Zahl
nötigen, Eigenschaften hat, muss diese
Zahl zeigen. D.h. er
ist eben das, was die Zahl aufzeigt. | ✓ |
Ist
F nicht auch eine unendliche Einschränkung eines
Intervals? Wie kann ich wissen, dass, oder ob, sich die Spirale nicht in diesem Punkt zusammenziehen wird? Im Falle der V2 weiss ich es. Kann ich nun eine solche Spirale auch eine Zahl nennen? Eine Spirale, die, for all I kanow, an einem rationalen Punkt stehen bleiben kann. Aber das kann es auch nicht sein[.|:] Es ist das Fehlen einer Methode des Vergleichs mit den Rationalzahlen. Denn das Entwickeln der Extension ist keine solche Methode, da ich nie wissen kan kann, ob oder wann, es zu einer Entscheidung führen wird. Es ist keine Methode ins Unbestimmte hinein zu entwickeln, wenn auch dieses Entwickeln zu einem Resultat des Vergleichs führt. 86 Dagegen ist es eine Methode, a zu quadrieren und zu sehen, ob das Quadrat grösser oder kleiner als 2 ist. | ✓ |
Könnte man
sagen: die allgemeine Methode des Vergleichs mit
den Rationalzahlen, das ist die reelle Zahl. | ✓ |
Die Frage muss Sinn haben: “Kann diese Zahl II
sein?” | ✓ |
F
ist nicht das Interval 0 –
0,1̇
, denn eine gewisse
Entscheidung kann ich auch innerhalb dieses
Intervals treffen, aber eine Zahl in diesem
Interval ist es nicht, denn die Entscheidungen, die
dazu nötig wärene, können wir nicht
fällen. Könnte man also sagen: F ist wohl ein arithmetisches Gebilde, nur keine Zahl (auch kein Interval). D.h. ist kann F nicht einem Punkt vergleichen und auch keiner Strecke. Gibt es ein geometrisches Gebilde, dem es entspricht? Das Gesetz d.i. die Vergleichsmethode sagt nur, dass sie entweder die Antworten “kleiner, grösser oder gleich” oder “grösser” [,| (]aber nicht gleich) liefern wird. Aehnlich, wenn ich in einem finstern Raum gehe und sage: Ich kann nur konstatieren ob er niedriger als ich oder gleich – oder – höher ist. Und hier könnte man sagen: Eine Höhe kannst du also nicht konstatieren; was ist es also, was du konstatieren kannst. Der Vergleich hinkt nur darum, weil ich ja im Falle des Anstossens doch die Höhe bestimmen kann, während ich im Falle des F prinzipiell nicht fragen kann “ist es dieser Punkt”. Ich kenne keine Methode um zu bestimmen, ob es dieser Punkt ist, also ist es [(|k]ein Punkt. Wenn die Frage nach dem Vergleich von F mit einer Rationalzahl keinen Sinn hat, weil alle Entwicklung uns die Antwort noch nicht gegeben hat, dann hat diese Frage auch keinen Sinn, ehe man aus Geradewohl die Sache durch die Extension zu entscheiden versucht hat. Wenn es jetzt keinen Sinn hat zu fragen “ist F = 0,11”, dann hatte es auch keinen Sinn, ehe man 100 Stellen der Extension untersucht hatte, also auch, ehe man nur eine untersucht hatte. Dann hätte es aber überhaupt keinen Sinn in diesem Fall zu fragen, ob die Zahl irgend einer [r|R]ationalzahl gleich ist. Solange man nämlich keine Methode besitzt, die es unbedingt entscheidet. | ✓ |
✓ |
0,3̇
ist
nicht im selben Sinne ein Resultat von 1 : 3
wie etwa
0,25 von
1 : 4;
es deutet auf eine andere arithmetische Tatsache hin. | ✓ |
Angenommen, die Division lieferte fortdauernd die gleiche Ziffer 3,
ohne dass man aber in ihr die Notwendigkeit
dazu sehen würde, hätte es dann einen Sinn, die
Vermutung auszusprechen, dass das
Resultat 0,3̇
sein
werde? D.h. bezeichnet 0,3̇ nicht eben nur eine gesehene Induktion und nicht – eine Extension. 87 | ✓ |
Nur dort kann man in der
Mathematik farag fragen (oder vermuten) wo
die Antwort lautet “Ich
muss es ausrechnen”. Kann ich das denn aber nicht auch im Fall 1 : 3 = 0,3̇ sagen, wenn auch das Resultat keine Extension sondern die Entstehung jener Induktionsbeziehung ist? Wohl aber müssen wir dazu von dieser Induktionsbeziehung eine klare Vorstellung haben, wenn wir sie erwarten wollen. D.h., wir können doch auch hier nicht ins Blaue vermuten oder erwarten. | ✓ |
Das, was die “mathematische
Frage” mit der eigentlichen
Frage gemein hat, ist eben die Beantwortbarkeit.
| ✓ |
Wenn das 3̇
in
1 : 3 =
0,3̇
auf eine bestimmte Methode
hindeutet, so bedeutet 0,110̇
in Verbindung
mit F nichts, da hier eine Methode nicht vorliegt. | ✓ |
Ein Gesetz, das ich nicht kenne, ist kein Gesetz. | ✓ |
Es ist schon ein Gesetz da (und daher auch ein arithmetisches
Interesse) aber das b bezieht sich nicht
unmittelbar auf die Zahl. Die Zahl ist gleichsam ein
ungesetzmässiges Nebenprodukt des
Gesetzes. Wie wenn einer eine
Strasse entlang geht, in
gesetzmässigem Schritt und nun bei
jedem Schritt würfelt und je nach dem Ausfall des
Würfelns einen Pflock in die Erde steckte oder nicht; dann
würden diese Pflöcke nicht
gesetzmässig stehen.
Oder vielmehr, das Gesetz, worin sie stehen würden, wäre nur das des Schreitens und kein anderes. | ✓ |
Das Untersuchen der
Zahlen nach F folgt einem Gesetz aber nicht die
Resultate. Der Gesetzmässigkeit dieses Suchens entspricht also in gewissem Sinne das Gesetz der Zahl lim (n-∞) S
| ✓ |
Ein Gesetz, das
wir nicht kennen, können wir nicht ausdrücken.
Daher kann aus unverstandenen Beiträgen kein
verstandenes Ganzes kommen. | ✓ |
Die Zahl, als
Resultat eines arithmetischen Experiments, also das Experiment als
d die Beschreibung einer Zahl
ist ein Unding. Das Experiment wäre die Beschreibung, nicht die Darstellung einer Zahl. | ✓ |
Im Fall des Menschen, der regelmässig
schreitet und dabei regellos Pflöcke einschlägt,
bleibt das Regelmässige das
Schreiten. | ✓ |
|
Die Möglichkeit der
Entwicklung im Dezimalsystem folgt zwar unmittelbar aus dem Wesen
der reellen Zahl, denn die successiven Stufen
dieser Entwicklung sind ein Ausdruck (eine Fassung) des
sich zusammenziehenden Intervalls. Aber die
Dezimalentwicklung ist im Allgemeinen nicht der Wesentliche
(sichtbare) Ausdruck dieses Vorgangs.
(D.h. es gibt keine reelle Zahl ohne
Entwicklung, aber wohl eine Entwicklung ohne reelle
Zahl.) ⌊⌊
⌋⌋ 88 | ✓ |
D.h. dass es immer
eine Entwicklung der reellen Zahl gibt, die der
wesentliche Ausdruck ihres Gesetzes ist.
Dieser Ausdruck zeigt die sich einander ohne Grenze
nähernden Zahlen. | ✓ |
“Der Prozess würde
erst, wenn er zu Ende ist, eine Zahl bestimmen, da er aber ins
Unendliche läuft und nie fertig wird, so bestimmt er
keine Zahl.”
Der Prozess muss unendlich vorausschauen, sonst bestimmt er keine Zahl. Es darf kein “ich weiss es noch nicht” geben, denn es gibt kein noch im Unendlichen. Jeder rationale | ✓ |
Jede rationale Zahl
muss in einem sichtbaren Verhältnis zu
dem Gesetz, das eine Zahl ist, stehen. | ✓ |
Die
eigentliche Entwicklung ist eben die Methode des Vergleichs mit den
Rationalzahlen. Die eigentliche Entwicklung der Zahl ist die, die den unmittelbaren Vergleich mit den Rationalzahlen erlaubt. Wenn man dem Gesetz eine Rationalzahl in die Nähe bringt, so muss es darauf in einer bestimmten Weise reagieren. Auf die Frage “ist es die” muss es antworten. Ich möchte so sagen: Die eigentliche Entwicklung ist das, was der Vergleich mit einer rationalen Zahl aus dem Gesetz hervorruft. Das Zusammenziehen des Intervalls dient ja dem Vergleich dadurch, dass dadurch jede Zahl rechts oder links zu liegen kommt. Das geht nur dann, wenn der Vergleich mit einer gegebenen Rationalzahl das Gesetz zwingt, sich im Vergleich zu dieser Zahl auszusprechen. | ✓ |
| ⌊⌊ Soll
m² =
2m² sein so müßte
m gerade sein da eine
Ungerade zum Quadrat keine Gerade gibt. Also ist n
ungerade. Also nimmt
|
| ⌊⌊
|
Es ist nicht so, dass
x¹ + y¹
= z¹,
x² + y² =
z² etc. nur andere Formen der
Bezeichnung von Zahlen sind, die in dieser Form in sichtbarem
gesetzmässigem Verhältnis
stehen, wenn schon die aus ihnen erhaltenen
Dezimalausdrücke es nicht tun. Es ist nicht wie im
Fall
| ✓ |
Hier
handelt es sich um den Unterschied einer arithmetischen Operation die
uns eine Zahl liefert von einem arithmetisch unverstandenen
Prozess, der uns Ziffern
liefert. | ✓ |
Wie wäre es mit einer
Operation: ◇ x)(y,
man bildet das Produkt von x und y; ist es
grösser als 100, so ist das Resultat
gleich der grössern der beiden Zahlen,
andernfalls ist das Resul⌊t⌋at Null.
Die Operation ist arithmetisch nicht verständlich. | ✓ |
Ist ein arithmetisches
Experiment noch möglich, wo eine Definition durch
Recursion statt hat? Ich
glaube offenbar nein; weil durch die Recursion
jede Stufe arithmetisch verständlich wird. 89 | ✓ |
|
Und zwar wird recurriert, nicht
wieder auf eine Allgemeinheit sondern auf einen bestimmten
arithmetischen Fall. Die recurrierende Definition vermittelt das Verständnis dadurch, dass sie auf einem bestimmten Fall, der keine Allgemeinheit voraussetzt, aufbaut. |
Wohl kann ich im Fall
)(, F,
P die Vorschrift der Untersuchung der Zahlen
recursiv erklären, aber nicht ihr
Resultat. Ich kann das Resultat nicht aufbauen. Wie weiss ich denn, dass es ein a gibt für welches a² kl 2kl a² kl 2 kl a² +
| ✓ |
Wenn wir
sehen wollen, was bewiesen worden ist, dürfen wir auf nichts
anderes schauen als den Beweis. | ✓ |
Wenn ich
sage (nV2)²
nähert sich der 2 und erreicht also einmal die
Zahlen 1,9,
1,99, 1,999 so ist das unsinnig,
wenn ich nicht angeben kann, binnen wieviel Schritten diese Werte
erreicht werden, denn “einmal” heisst nichts. | ✓ |
(Ex).2 ˃ x²
˃ 2 ‒
1² kl 2 kl (1 +
A² kl 2 kl (A +
(A +
A² kl (A +
| ✓ |
1 1 0,5 0,16 0,0416̇ Nach wieviel Schritten bleibt eine Dezimalstelle stehen? 0,998/998/998/
99/899/899/ 9/989/989/ /998/998/ 99/899/ 9/989/ /998/ 99/ 9/ Die Wirkung der Addition zerschellt immer an der 8. Der Rest einer Columne kann nie [p|ü]ber die nächste hinauswirken. | ✓ |
Wieviele Nullen können in e nacheinander auftreten?
Bleibt nach der n + r
Schritten die n-te Dezimalstelle stehen und geht ihr eine 0
vorher, so muss die zugleich mit der
n-ten Stelle stehen bleiben, denn eine Null kann aus einer andern
Ziffer nur werden, wenn sich auch die nächste Stelle noch
ändert. So ist die Zahl der Nullen
beschränkt. | ✓ ✢ ✓ |
Man kann und
muss zeigen, dass die
Dezimalstellen nach einer bestimmten Anzahl von Schritten
stehenbleiben. 90 | ✓ ✢ |
Man muss
immer die Grössenordnung bestimmen
können. Angenommen, es spricht nichts dagegen
(in meiner Notation), dass in e an
einer bestimmten Stelle hundert Dreier nacheinander
ste[l|h]en, so|spricht etwas dagegen, dass
10¹⁰⁰ Dreier nacheinander auftreten.
Im Dezimalsystem muss vieles offenbleiben,
was [u|i]m Dualsystem bestimmt ist. | ✓ |
Es ist
nicht nur notwendig sagen zu können, ob eine gegebene rationale
Zahl die reelle Zahl ist, sondern auch, wie nahe sie ihr
möglicherweise kommen kann. D.h.
es genügt nicht sagen zu können,
dass die Spirale durch diesen Punkt nicht geht
und unterhalb vorbei, sondern wir müssen auch Grenzen
wissen, innerhalb deren der Abstand von dem Punkt liegt.
Wir müssen eine Grössenordnung
des Abstandes kennen. | ✓ |
Die Entwicklung im
Dezimalsystem gibt mir diese nicht, da ich nicht wissen kann,
wieviele Neuner, z.B., einer entwickelten Stelle
folgen werden. | ✓ |
Die Frage “ist e
2,73̇
” ist unsinnig, denn sie fragt nicht nach einer
Extension sondern nach einem Gesetz, nämlich nach einer
Induktion, von der wir aber hier keine Vorstellung
haben. Für die Division kann man diese Frage
stellen; nur darum, weil wir die
Indukt[u|i]onsform kennen, die wir 3̇
nennen. | ✓ |
Die Frage “bleiben die Dezimalstellen von
e einmal
stehen” und die Antwort “sie bleiben einmal stehen” sind beide Unsinn. Die Frage
heisst: Nach wieviel Schritten
müssen die Stellen stehen bleiben. | ✓ |
Kann man
sagen: “e ist nicht diese
Zahl” heisst
nichts, sondern man muss sagen, es ist
mindestens um dieses Interval von ihr entfernt.
Ich glaube, so ist es. Das hiesse aber, sie könnte auch gar nicht beantwortet werden ohne dass zugleich ein Begriff über den Abstand gegeben würde. | ✓ |
Die Allgemeinheit der allgemeinen arithmetischen
Sätze kann ich nicht verneinen. | ✓ |
Ist es
nicht sie allein, die ich im algebraischen Satz nicht wiederspiegeln
kann? | ✓ |
Eine Gleichung
lässt sich nur beweisen, indem man sie
auf Gleichungen zurückführt Die letzten Gleichungen in diesem Prozess sind Definitionen. Ist eine Gleichung nicht auf andere Gleichungen zurückführbar, so ist sie eine Definition. Eine Induktion kann eine Gleichung nicht rechtfertigen. Daher kann sich z.B. die Einführung der Notation 3̇ nicht auf die Induktion beziehen, deren Zeichen sie zu sein scheint. Es muss ähnlich sein, wie das Verhältnis von “A(c)” zu seinem Induktionsbeweis. Oder vielmehr, er bezieht sich wohl auf die blossen Tatsachen der Induktion aber nicht auf die Allgemeinheit, die ihr eigentlicher Sinn ist. | ✓ |
Durch Gleichungen kann ich mich nicht über Gleichungen
erheben, ich kann nicht aus Gleichungen herauskommen.
Das ist einer meiner Grundgedanken der ungemein schwer ganz zu
erfassen ist. 93 | ✓ |
/ |
Suchen kann man nur in einem Raum. Denn
nur im Raum hat man eine Beziehung zum Dort, wo
man nicht ist. | ✓ |
/ |
Ich habe
immer gesagt: Von allen Zahlen könne
man nicht reden, weil es alle Zahlen nicht
gibt. Aber das ist nur der Ausdruck eines
Gefühls. Eigentlich
müsste man sagen “von allen Zahlen ist
in der Arithmetik nie die Rede und wenn man trotzdem so spricht, so
dichtet man, sozusagen, zu den arithmetischen Fakten
etwas – Unsinniges – hinzu. (Was man zur Logik
hinzudichtet, muss natürlich
unsinnig sein). | ✓ – |
Den Sinn
eines Satzes verstehen, heisst, wissen wie die
Entscheidung herbeizuführen ist, ob er wahr oder falsch
ist. | ✓ |
| Das
Wesen dessen, was wir Willen nennen, hängt unmittelbar mit der
Kontinuität des Gegebenen zusammen. |
/ |
Man
muss von dort, wo man ist, dorthin finden, wo
die Entscheidung liegt. | ✓ |
/ |
Falsch suchen kann man nicht, man kann nicht mit dem
Tastsinn einen Gesichtseindruck suchen. | ✓ |
Man kann ein Bild nicht mit der Wirklichkeit vergleichen, wenn man
es nicht als Maßstab an sie anlegen kann.
Man muss den Satz auf die Wirklichkeit auflegen können. Die angeschaute Wirklichkeit tritt an Stelle des Bildes. | ✓ |
/ |
Soll ich konstatieren, ob
2 Punkte eine gewisse Entfernung haben, so
muss ich die Entfernung ins Auge fassen,
die sie haben. | ✓ |
/ |
Die ärgsten philosophischen Irrtümer entstehen immer,
wenn man unsere gewöhnliche – physikalische –
Sprache im Gebiet des unmittelbar Gegebenen anwenden will.
Wenn man z.B. frägt “existiert der Kasten noch, wenn ich ihn nicht anschaue”, so wäre die einzig richtige Antwort “gewiss, wenn ihn niemand weggetragen oder zerstört hat”. Natürlich wäre der Philosoph von dieser Antwort nicht befriedig, aber sie würde ganz richtig seine Fragestellung ad absurdum führen. | ✓ |
/ |
Alle unsere Redeformen sind aus der normalen physikalischen Sprache
hergenommen und in der Erkenntnistheorie oder Phänomenologie
nicht zu gebrauchen, ohne schiefe Licheter auf den
Gegenstand zu werfen. | ✓ |
/ |
Die blosse Redensart “ich nehme x wahr” ist schon aus der physikalischen Ausdrucksweise
genommen und x soll hier ein physikalischer Gegenstand –
z.B. ein Körper – sein.
Es ist schon falsch, diese Redeweise in der Phänomenologie zu
verwenden, wo dann x ein Datum bedeuten
muss. Denn nun kann auch “ich” und
“nehme wahr” nicht den Sinn haben, wie oben. 94 | ✓ |
/ |
Wenn man z.B. sagt, man sähe nie einen
wirklichen Kreis, sondern immer nur
angenähenäherte Kreise, so hat das einen
guten, e[9|i]nwandfreien, Sinn, wenn es
heisst, dass man an
einem Körper, der kreisförmig aussieht, durch genaue Messung
oder durch Anschauen mit dem
Vergrösserungsglas noch immer
Ungenauigkeiten entdecken kann. Wir verlieren diesen
Sinn aber so wie wir statt des
kreisförmigen Körpers das unmittelbar Gegebene, den
Fleck, oder wie man es nennen will, setzen. | ✓ |
/ |
Wenn ein
Kreis überhaupt das ist, was wir sehen – sehen, in demselben
Sinn, in dem wir den blauen Fleck sehen – dann müssen wir
ihn sehen können und nicht
bloss etwas ihm
Aehnliches. | ✓ |
/ |
Wenn ich keinen genauen
Kreis sehen kann, so kann ich, in diesem Sinne, auch keinen
angenäherten sehen. – Sondern dann ist der
euklidische Kreis – wie auch
der euklidische angenäherte
Kreis – in diesem Sinn gar nicht Gegenstand meiner Wahrnehmung,
s sondern etwa nur eine andere logische
Konstruktion, die aus den Gegenständen eines ganz anderen
Raumes, als des unmittelbaren Sehraumes, gewonnen werden
können. Aber auch diese Ausdrucksweise ist irreführend und man muss vielmehr sagen, dass wir den euklidischen Kreis in einem anderen Sinne sehen. Dass also zwischen dem euklidischen Kreis und dem Wahrgenommenen eine andere Projektionsart besteht, als man naiverweise annehmen würde. | ✓ |
/ |
Wenn ich sage, man kann
ein 1000-Eck nicht von einem Kreis unterscheiden, so
muss mir hier das 1000-Eck durch seine
Konstruktion, durch seine Entstehung gegeben sein. Denn,
wie wüsste ich sonst,
dass es “tatsächlich”
ein 1000-Eck ist, und nicht ein Kreis.
| ✓ |
/ |
Im Gesichtsraum gibt es
keine Messung. | ✓ |
/ |
Man könnte z.B. im Gesichtsraum sehr
wohl definieren: “Gerade ist, was nicht krumm
ist” und “Kreis ist eine Linien konstanter
Krümmung”. | ✓ |
/ |
Wir brauchten neue
Begriffe und wir nehmen immer wieder die der physikalischen
Sprache. Das Wort “Genauigkeit” ist
einer jener zweifelhaften Ausdrücke. In der
gewöhnlichen Sprache bezieht es sich auf einen
Vergleich und da ist es ganz
verständlich. Wo ein gewisser Grad der
Ungenauigkeit vorhanden ist, dort kann ist
auch [f|v]ollkommene Genauigkeit sein
möglich. Was soll es aber
heissen, wenn ich sage, ich kann nie einen
genauen Kreis sehen und dieses Wort jetzt nicht relativ, also absolut,
gebrauche? | ✓ |
/ |
Die Worte “ich
sehe” in “ich sehe einen Fleck” und “ich sehe eine
Linie” haben also verschiedene
Bedeutung. | ✓ |
/ |
Angenommen, ich muss sagen “ich sehe nie eine ganz scharfe
Linie”, so ist die
Frage: “Ist eine
[S|s]charfe denkbar?” Ist es richtig, zu sagen “ich sehe keine scharfe
Linie”, dann ist eine
scharfe Linie denkbar. Hat es Sinn zu sagen “ich sehe nie einen genauen
Kreis” dann
heisst das: Ein genauer Kreis ist
im Gesichtsraum denkbar. Ist ein genauer Kreis im Gesichtsfeld undenkbar, dann muss der Satz “ich sehe nie einen genauen Kreis im Gesichtsfeld” von der Art des Satzes sein, “ich sehe nie das hohe C im Gesichtsfeld”. 111 | ✓ |
|
Philosophie
der Logik darin, dass man annimmt, ein Wort
könne auf seinen Gegenstand gleichsam anspielen (aus der
Entfernung auf ihn hindeuten) ohne ihn vertreten zu
müssen. |
Ein Satz, der von allen
Sätzen, oder allen Funktionen handelt, ist von vorn herein
eine Unmöglichkeit: Was durch einen solchen
ausgedrückt werden sollte, müsste
durch eine Induktion gezeigt werden.
(Z.B. dass
alle Sätze non2np
dasselbe sagen) Diese Induktion ist selbst kein Satz und deshalb ist ein circu[k|l]us vi[r|t]iosus ausgeschlossen. | ✓ |
| Widerspricht folgende
Tatsache nicht meiner Auffassung von der
Wahrscheinlichkeit: Es ist
112 |
| zu einer Sprache
macht. In dem Sinn, in dem es die Anwendungn
ist, die den Stab mit Strichen zu einem Maßstab
machen. Das Anlegen der Sprache an die
Wirklichkeit. |
Wir sind
in Versuchung, zu sagen: Nur die Erfahrung des
gegenwärtigen Augenblicks hat Realität. Und da
muss die erste Antwort sein: Im
Gegensatz wozu? Soll das heissen, dass ich he[i|u]te früh nicht aufgestanden bin? (Denn dann wäre es bedenklich) Aber das meinen wir nicht. Heisst es, dass ein Ereignis, dessen ich mich in diesem Augenblick nicht erinnere, nicht stattgefunden hat? Auch nicht. Jener Satz, dass nur die gegenwärtige Erfahrung Realität hat, scheint die letzte Consequenz des Soli◇mus Solipsismus zu enthalten. Und in einem Sinne ist das auch so; nur kann er ebenso wenig sagen, wie der Solipsismus. – Denn was zum Wesen der Welt gehört, lässt sich eben nicht sagen und die Philosophie, wenn sie etwas sagen könnte, müsste das Wesen der Welt beschreiben. Das Wesen der Sprache aber ist ein Bild des Wesens der Welt und die Philosophie als Verwalterungin der Grammatik kann tatsächlich das Wesen der Welt erfassen, nur nicht in Sätzen der Sprache, sondern in Regeln für diese Sprache, die unsinnige Zeichenverbindungen ausschliessen. | ✓ / \ |
Wenn man
sagt, die gegenwärtige Erfahrung nur hat
Realität, so muss hier schon das Wort
“gegenwärtig” überflüssig sein, wie in anderen
Verbindungen das Wort “ich”.
Denn es kann nicht heissen
gegenwärtig im Gegensatz zu vergangen und
zukünftig. – Es muss mit
dem Wort etwas anderes gemeint sein, etwas was nicht in
einem Raum ist, sondern selbst ein Raum.
D.h., nicht angrenzend an Anderes
(daher abgrenzbar davon). Also etwas, was die Sprache
nicht mit Recht herausheben kann. | ✓ |
Die
Gegenwart von der wir hier reden, ist nicht das Bild des
Filmstreifens, das gerade jetzt im Objektiv der Laterne steht, im
Gegensatz zu den Bildern vor und nach diesem, die noch nicht oder
schon früher dort waren; sondern das Bild auf der Leinwand,
das mit Unrecht gegenwärtig genannt würde, weil
gegenwärtig hier nicht zum Unterschied von vergangen und
zukünftig gebraucht wird. Es ist also ein
bedeutungsloses Beiwort. | ✓ |
Es gibt
allerdings sehr interessante ganz allgemeine Sätze von
grosser Wichtigkeit, Sätze die
also auch eine wirkliche Erfahrung beschreiben, die auch hätte
anders sein können, aber nun einmal so
ist. Z.B.,
dass ich nur einen Körper
habe. Dass meine
Empfindlichkeit⌊ung⌋
nie über diesen Körper hinausre⌊i⌋cht
(ausser in Fällen wo einem ein
Glied, z.B. ein Arm amputiert wurde und er doch
in den Schmerzen in den Fingern spürt).
Das sind merkwürdige und interessante Tatsachen.
Nicht in diese Kathegorie gehört es aber, wenn man sagt, dass ich die Zukunft nicht erinnern kann. Denn das heisst nichts und ist, wie sein Gegenteil, eine Undenkbarkeit. Dass ich immer, wenn ich wach bin, aus meinen Augen sehe, ist dagegen eine merkwürdige und interessante Tatsache. Ebenso ist es wichtig, dass mein Gesichtsbild beinahe unausgesetzt in Veränderung begriffen ist. “Ich” bedeutet offenbar meinen Körper, denn ich bin in diesem Zimmer; und “ich” ist wensentlich etwas, was an einem Ort ist und an einem Ort desselben Raumes in dem auch die andern Körper sind. | ✓ |
| “Realismus”,
“Idealismus”, etc. sind schon von vornherein
metaphysische Namen.
Sk.◇
113 D.h. sie
deuten darauf hin, dass ihre Anhänger
glauben, etwas Bestimmtes über das Wesen der Welt aussagen zu
können. |
Wer den Satz, nur die
gegenwärtige Erfahrung sei real, bestreiten will, (was
ebenso falsch ist, wie ihn zu behaupten) wird etwa fragen, ob
denn ein Satz, wie “Julius
Cäsar ging über
die Alpen” nur
| ✓ |
Alles was, wenn es geschähe, einen
Glauben mit Recht bestärken würde, bestimmt logisch die
Natur dieses Glaubens.
D.[g|h]. es zeigt etwas über
das logische Wesen dieses Glaubens. | ✓ / \ |
Der Satz über Julius Cäsar ist eben ein Gerüst (wie der, über
jede andere Person) das die verschiedensten Verifikationen
zulässt, allerdings nicht alle, die es im
Falle anderer z.B. lebender Personen
zulässt. | ✓ |
⌊⌊⋎⌋⌋ Ist
nicht Alles was ich meine, dass es zwischen
den Satz und seiner Verifikation nicht noch
ein Mittelglied gibt, das diese Verifikation vermittelt?
| ✓ |
Auch unsere gewöhnliche Sprache
muss ja für alle Fälle der
Unsicherheit vorsorgen und wenn wir gegen sie philosophisch etwas
einzuwenden haben, so kann es nur aus dem Grund sein, weil sie in
gewissen Fällen zu Missdeutungen
Anlass gibt. | ✓ |
|
Es wäre nun lehrreich, dies
Eine der am meisten irreführenden Darstellungsweisen
unserer Sprache ist der Gebrauch des Wortes “ich”, besonders
dort, wo sie damit das [U|u]nmittelbare Erlebnis
darstellt, wie in “ich sehe einen
roten Fleck”.
Es wäre nun lehrreich diese Ausdrucksweise durch eine andere zu ersetzen, in der das unmittelbare Erlebnis nicht mit Hilfe des persönlichen Fürworts dargestellt würde
⌊⌊
⌋⌋ 114 | ✓ |
|
Denken wir uns eine Erfahrung an meinem Körper, daß er
manchmal ausschaut wie ein Andrer wenn er Z. hat, ich aber keine Z. spüre? Ich könnte diese
Erfahrg mit den Worten beschreiben
Ludwig Wittgenstein hat
Z. im Gegensatz zu „ich habe Z.”.
Man könnte folgende Darstellung adoptieren: Wenn ich L.W. Zahnschmerzen habe, so wird das durch den Satz “es gibt Zahnschmerzen” ausgedrückt. Ist aber das der Fall, was jetzt durch den Satz “A hat Zahnschmerzen” ausgedrückt wird, so wird gesagt: “A benimmt sich wie L.W. wenn es Zahnschmerzen gibt.” Analog wird gesagt “es denkt” und “A benimmt sich wie L.W. wenn es denkt”. (Man könnte sich eine orientalische Despotie denken, in der die Sprache so gebildet ist, dass der Despot ihr Zentrum ist und sein Name an Stelle des L.W. steht.) Es ist klar, dass diese Ausdrucksweise, was ihre Eindeutigkeit und Verständlichkeit anbelangt, mit der Unseren gleichwertig ist. Es ist aber ebenso klar, dass diese Sprache g jeden Beliebigen als Zentrum haben kann. Von allen den Sprachen nun, die verschiedene Menschen als Zentrum haben und die ich alle verstehe, hat die, welche mich zum Zentrum hat, eine Sonderstellung. Sie ist besonder adäquat. Wie kann ich das [A|a]usdrücken? D.h., wie kann ich ihren Vorzug korrekt in Worten darstellen? Das ist nicht möglich. Denn tu ich's in der Sprache, die mich zum Zentrum hat, dann ist die Ausnahmsstellung der Beschreibung dieser Sprache in ihrem eigenen Termini kein Wunder, und in der Ausdrucksweise einer andern Sprache nimmt meine Sprache durchaus keine Sonderstellung ein. – Die Sonderstellung liegt in der Anwendung, und wenn ich diese Anwendung beschreibe, so kommt dadurch die Sonderstellung wieder nicht zum Ausdruck, weil die Beschreibung von der Sprache abhängt, in der sie gegeben wird. Und welche Beschreibung nun das meint, was ich im Sinne habe, hängt wieder von ihrer Anwendung ab. Nur die Anwendung unterscheidet wirklich zwischen den Sprachen, aber von ihr abgesehen sind alle Sprachen gleichwertig. – Alle diese Sprachen stellen doch nur ein Einziges, Unvergleichliches dar und können nichts anderes darstellen. (Die beiden Betrachtungsweisen müssen zu Demselben führen: Die eine, dass das Dargestellte nicht eines unter mehreren ist, dass es keines Gegensatzes fähig ist; die andere, dass ich den Vorzug meiner Sprache nicht aussprechen kann). Kann man das auch im Fale der gr. U. tun? | ✓ ✓ / \ |
/ | Die
mathematische Frage muss so exakt sein, wie
der mathematische Satz. |
/ |
Wenn ich wissen will, was “1 : 3 =
0,3̇
”
heisst, so ist es eine relevante Frage:
“Wie kann ich das
wissen?” Denn auf dieses
“wie”
kommt der Beweis zur Antwort, und mehr als dieser zeigt,
wei[i|s]s ich ja
nicht. | ✓ |
/ |
Es ist klar,
dass jede Multiplikation im Dezimalsystem eine
Lösung hat und dass man also jede
arithmetische Gleichung von der Form a × b = c beweisen,
oder ihr Gegenteil beweisen kann.
Wie sieht nun ein Beweis dieser
Beweisbarkeit aus? Er ist offenbar weiter nichts, als
eine Klärung des Symbolismus und das Aufzeigen einer Induktion,
die erkennen lässt, welcher Art die
Sätze sind, zu denen die Leiter führt. | ✓ ✓ |
/ |
Angenommen
nun, ich habe 2 Systeme, so kann man nicht nach einem System
frage, das sie beide umfasst,
denn nicht nur kann ich dieses System jetzt nicht
suchen, sondern auch, im Falle sich einmal eines zeigt, das zwei
den ersten analoge Systeme umfasst, sehe
ich, dass ich es nie hätte suchen
können. | ✓ |
/ |
(Es gibt eben in der Mathematik nur schwarz und
weiss, und nicht das [g|G]rau,
woraus noch das [e|E]ine oder das Andere werden
kann.) | ✓ |
/ |
Suchen kann man nur in einem System: Also
gibt es unbedingt etwas, was man nicht suchen
kann. 115 | ✓ |
Welcher Art
ist z.B. die Entdeckung
Scheffers,
dass man die Wahrheitsfunktionen alle auf
[l|p]/q
zurückführen kann? Oder die Entdeckung der
Methode, die Kubikwurzel zu ziehen? Wie ist es, wenn
man in der Mathematik einen Trick anwenden
muss? (Wie beim Lösen
einer Gleichung oder beim Integrieren). Hier
ist es, wie beim Lösen eines Knotens. Ich kann
auf gut Glück den einen oder andern Weg probieren, und es kann
sein, dass sich der Knoten noch mehr
verknüpft, oder, dass er sich
löst. (Jedenfalls ist jede Operation eine
erlaubte Operation und führt irgend wohin.) | ✓ |
Ich will sagen, dass das
Finden eines Systems zur Lösung von Problemen, die man
früher nur einzeln durch separate Methoden lösen konnte,
nicht bloss die Auffindung eines bequemeren
Vehikels ist, sondern einer ganz neuen Sache, die man früher
überhaupt nicht hatte. Die einheitliche Methode ist
eben nicht nur die Methode, der Herstellung eines Gegenstands, der
der [G|g]leiche ist, auf welche Art immer er hergestellt
wurde. Die Methode ist kein Vehikel, das uns an einen
Ort führt, der eigentlich unser Ziel ist, wie immer wir ihn
auch erreichen.
D.h.: Ich glaube, man kann in der Mathematik keinen Weg finden, der nicht eben ein Ziel ist. Man kann nicht sagen: Alle diese Resultate hatte ich schon, ich finde jetzt nur noch einen bessern Weg, der zu allem hinführt. Sondern dieser Weg ist ein neuer Ort, den man bisher noch nicht hatte. Der neue Weg macht ein neues System aus. | ✓ / \ |
Soll das nicht
heissen, dass man in
der Mathematik nichts Neues über einen Gegenstand erfahren
kann, weil es dann ein neuer Gegenstand ist? | ✓ |
Das kommt auch darauf hinaus: Wenn ich einen Satz
z.B. der Zahlentheorie höre, aber seinen
Beweis nicht kenne, so verstehe ich auch den Satz nicht.
Das klingt sehr paradox. Ich verstehe –
heisst das – also den Satz nicht,
dass es unendlich viele Primzahlen gibt,
ehe ich seinen sogenannten Beweis nicht kenne. Wenn ich den
Beweis kennen lerne, so lerne ich also etwas ganz
Neues kennen, nicht nur den Weg zu einem mir schon bekannten
Ziel. Dann ist es aber unbegreiflich, dass ich, wenn der Beweis geliefert ist, zugebe, dass es der Beweis eben dieses Satzes ist, oder die Induktion, die mit diesem Satz gemeint ist. | ✓ / \ |
/ |
Ich will sagen, dass ein
mathematischer Satz nicht die Prosa ist, sondern der exakte
Ausdruck. | ✓ |
/ |
Es kann nicht zwei unabhängige Beweise
eines mathematischen Satzes geben. | ✓ |
Das
Knoten-Auflösen in der Mathematik: Kann man
versuchen einen Knoten aufzulösen, von dem einmal
bewiesen wird, dass er nicht auflösbar
ist? Die Auflösung der Gleichung dritten Grades
ist gelungen, die “Dreiteilung des Winkels mit
Lineal und Zirkel konnte nicht gelingen; an
beiden hat man sich versucht,
lange ehe man die
Lösung der einen Aufgabe und die Unlösbarkeit der andern
wusste. | ✓ |
Denken wir uns einen scheinbaren Knoten, der in Wirklichkeit aus
vielen in sich zurücklaufenden Fadenstücken besteht
und etwa auch aus einigen nicht geschlossenen.
116 Ich stelle nun jemandem
die Aufgabe den Knoten aufzulösen. Sieht er den
Verlauf der Schnurstücke klar, so wird er sagen, das ist kein
Knoten und es gibt daher keine Auflösung. Sieht
er nur ein Gewirr von Schnüren, so wird er vielleicht versuchen,
es zu lösen, indem er aufs Geratewohl an verschiedenen Enden
zieht oder wirklich einige Transformationen vornimmt, die daraus
entspringen, dass er ja wirklich einige
Teile des Knotens klar sieht, wenn auch nicht seine ganze
Struktur. | ✓ |
/ |
Ich würde nun sagen, von einem eigentlichen
Versuch der Lösung kann man nur insoweit
sprechen, als die Struktur des Knotens klar gesehen ist.
Sofern sie nicht klar gesehen wird, ist alles ein Tappen im
Dunklen, denn es kann ja sein, dass, was
mir als Knoten erscheint, gar kein Knoten ist; der beste Beweis
dafür, dass ich wirklich keine Methode
hatte, nach einer Lösung zu suchen. Dieser
Prozess ist nicht mit dem zu vergleichen,
wenn ich z.B. i[j|n] einem Zimmer
methodisch nach einem Gegenstand suche, und eben dadurch
herausfinde, dass er gar nicht im Zimmer
ist. Denn hier suche ich nach einem möglichen
Sachverhalt und nicht nach einem unmöglichen. | ✓ |
/ |
Ich will aber nun sagen, dass
das Gleichnis mit dem Knoten hinkt, da ich einen Knoten haben und
ihn immer besser kennen lernen kann, während ich sagen will,
dass ich in der Mathematik nicht etwas, mir
schon in meinem Zeichen Gegebenes, immer besser kennenlernen kann,
sondern immer Neues
Ich sehe nicht ein, wie die Zeichen, die wir uns selbst gemacht haben um Gewisses auszudrücken, uns Probleme aufgeben sollten. | ✓ / \ |
Es ist
eher, so, als ob ein Knoten oder Knäuel uns nach
und nach gezeigt würde und wir uns fortlaufend
Bilder von ihm machten, soweit wir ihn sehen. Was von
dem Knoten uns noch nicht geoffenbart ist, davon haben wir keine
Ahnung und können dar[p|ü]ber in keiner
Weise Konjekturen anstellen (indem wir etwa die Bilder des
bekannten Teils einer Untersuchung unterziehen). | ✓ |
Was hat man denn damals gefunden, als man fand,
dass es unendli⌊c⌋h viele
Primzahlen gibt? Was hat man denn gefunden, wie
man eingesehen hat, dass es unendlich viele
Cardinalzahlen gibt? – Ist es
nicht ganz analog der Erkenntnis – wenn es eine ist –
dass der euklidische Raum unendlich ist, nachdem wir schon längst
übe Sätze über die
Gegenstände in diesem Raum gebildet haben.
Was bedeutet denn eine Untersuchung des Raumes? – Denn jede mathematische Untersuchung ist quasi eine Untersuchung des Raumes. Dass man die Dinge im Raum untersuchen kann, ist klar[.|,] [A|a]ber den Raum! (Geometrie und Grammatik entsprechen einander immer) Erinnern wir uns, dass in der Mathematik die Zeichen selbst Mathematik machen, nicht Mathematik beschreiben. Die mathematischen Zeichen sind ja wie die Kugeln einer Rechenmaschine. Und die Kugeln sind im Raum und eine Untersuchung an der Rechenmaschine ist eine Untersuchung des Raumes. | ✓ / \ |
/ |
Was nicht vorher gesehen wurde, war nicht
vorhersehbar; denn man hatte das System nicht, in welchem es
vorhergesehen werden konnte. (Und vorhergesehen worden
wäre.) | ✓ / \ |
/ |
Man kann Mathematik nicht schreiben sondern nur machen.
(Eben darum kann man in der Mathematik nicht mit den Zeichen
“schmusen”). 117 | ✓ |
/ |
Angenommen, ich wollte ein
regelmässiges Fünfeck konstruieren,
wüsste aber nicht wie, und würde
nun herumprobieren und käme endlich durch Zufall auf die richtige
Konstruktion: Haben wir hier nicht wirklich den
Fall des Knotens, der durch Probieren aufgelöst
wurde? Nein, denn wenn ich diese Konstruktion nicht
verstehe, so ist sie für mich noch gar nicht die
Fünfeck[ä|-]Konstruktion.
Ich kann schon durch Zufall die Auflösung der Gleichung zweiten Grades hinschreiben, aber nicht sie durch Zufall verstehen. Indem, was ich verstehe, verschwindet dann die Art, wie ich dazugekommen bin. Ich verstehe dann, was ich verstehe. D.h. der Zufall kann sich nur auf ein Aeusserliches beziehen, wie etwa, wenn man sagt “das habe ich herausgefunden, nachdem ich starken Kaffee getrunken hatte”. Der Kaffee ist in dem, was ich entdeckt habe nicht mehr enthalten. | ✓ |
/ |
Die Entdeckung des Zusammenhangs zweier Systeme war
nicht in einem Raum mit jenen beiden Systemen,
und wäre sie in demselben Raum gewesen, so wäre es keine
Entdeckung gewesen (sondern die Lösung einer
Schulaufgabe). | ✓ |
Wo jetzt ein
Zusammenhang bekannt ist, der f[ü|r]üher nicht
bekannt war, dort war früher nicht eine offene Stelle, eine
Unvollständigkeit, die jetzt ausgefüllt ist! – (Man konnte damals nicht sagen “so weit kenne ich die Sache, von hier an ist sie
mir nicht mehr bekannt”) Ich habe also gesagt: [d|D]ie Mathematik hat keine offenen Stellen. Das widerspricht der gewöhnlichen Auffassung. | ✓ |
/ |
In der
Mathematik gibt es kein “noch
nicht” und kein “bis auf weiteres”
(ausser in dem
tri[b|v]ialen Sinne, dass
man noch nicht 1000-stellige Zahlen miteinander
multipliziert hat). | ✓ |
/ |
Die
Induktion hat manches mit der Multiplizität einer
(natürlich endlichen) Klasse
ge[ein|mei]nsam. Andererseits ist sie
doch keine, und nun nennt man sie eine unendliche Klasse. – Wenn ich z.B. sage “wenn ich eine Windung kenne, so kenne ich die ganze Spirale”, s[i|o] bedeutet das eigentlich: Wenn ich das Gesetz der Spirale kenne, so ist das in vieler Beziehung analog dem Fall, in dem i[v|c]h eine Gesamtheit von Windungen kenne. – Natürlich aber eine “endliche” Gesamtheit, denn etwas anderes gibt es ja nicht –. Man kann nun nicht sagen: Ja, einer endlichen Gesamtheit ist sie in vieler Hinsicht analog, aber doch nicht ganz analog, dagegen einer unendlichen ganz, sondern, dass die Induktion sich einer Gesamtheit nicht ganz analog benimmt, ist eben alles, was wir sagen können. | ✓ |
/ |
Die
Mathematik kann nicht unvollständig sein; wie ein
Sinn ni[v|c]ht unvollständig sein
kann. Was ich verstehen kann, muss
ich ganz verstehen. Das hängt damit zusammen,
dass meine Sprache, so wie sie ist, in Ordnung
ist und dass die logische Analyse um zu
vollkommener Klarheit zu gelangen nichts zu dem vorhandenen Sinn
meiner Sätze dazufügen
muss.
Sodass der unklarst scheinende Satz nach
der Analyse seinen bisherigen Inhalt unberührt behält
und nur seine Grammatik geklärt wird. | ✓ |
/ |
Muss es aber denn nicht eine Frage sein, ob
es eine ◇endliche Zahl aller Primzahlen gibt oder
nicht;
[W|w]enn
man einmal überhaupt zu diesem Begriff gekommen ist.
Denn ◇ es scheint doch,
dass ich, wenn mir der Begriff Primzahl
gegeben ist, unmittelbar fragen kann “wieviele Primzah[el|le]n
gibtb es?” Wie
ich, wenn mir der Begriff “Mensch in
diesem Zimmer” gegeben ist ohne
weiteres die Frage bilden kann “wieviele Menschen sind in diesem
Zimmer?” 118 | ✓ |
/ |
Wenn diese Analogie nicht mich irreleitet, so
kann es nur dadurch sein, dass der
“Begriff Primzahl” mir in ganz anderer Weise gegeben ist, als ein
eigentlicher Begriff. Denn, wie ist ◇ denn
der strenge Ausdruck für den Satz “7 ist eine Primzahl”? Offenbar ist es nur der,
dass die Division der 7 durch kleinere Zahlen
einen Rest ergibt. Einen anderen Ausdruck kann es
dafür nicht geben, da wir Mathematik nicht beschreiben,
sondern nur treiben können. (Und schon das
vernichtet jede “Mengenlehre”.) | ✓ |
/ |
Wenn ich also einmal die allgemeine Form der Primzahl
hinschreiben kann, d.h. einen
[a|A]usdruck, in dem überhaupt etwas der “Zahl der Primzahlen” [a|A]naloges enthalten ist, dann ist auch
keine Frage mehr “wieviel”
Primzahlen es gibt, und vorher kann ich diese Frage auch nicht
stellen. Denn ich kann nicht fragen “hört die Reihe der Primzahlen
[E|e]inmal auf”, und auch nicht “kommt
nach der 7 noch jemals eine Primzahl”. | ✓ |
Denn, da wir
in der gewöhnlichen Sprache das Wort Primzahl haben konnten,
noch ehe der strenge Ausdruck vorhanden war, der quasi eine
Zahlangabe zulässt, so konnte man auch
vorher schon die Frage fälschlich bilden, wieviele Primzahlen es
gäbe. Dadurch gewinnt es den Anschein, als sei das
Problem früher schon vorhanden gewesen und jetzt gelöst
worden. Sie Wortsprache schien
diese Frage nach wie vor zuzulassen das erzeugete
den Schein, als sei ein echtes Problem vorhanden gewesen und eine
echte Lösung erfolgt. In der exakten Sprache
dagegen hatte man ursprünglich nichts, wovon man nach der
Anzahl hätte fragen können, und später einen Ausdruck,
an dem man die Mannigfaltigkeit unmittelbar ablesen
konnte. | ✓ |
/ |
Ich will also sagen: Nur in unserer
Wortsprache (die hier zu einem Mißverständnis der
logischen Form führt) gibt es in der Mathematik “noch ungelöste” Probleme und das Problem der endlichen “Lösbarkeit aller
mathematischer
Fragen”. | ✓ |
Es
scheint mir, dass die Idee der
Widerspruchsfreiheit in den Axiomen der Mathematik, die jetzt
so viel in den Köpfen der Mathematiker herumspukt, auf einem
Mißverständnis beruht. | ✓ |
Das
hängt damit zusammen, dass sie die
mathematischen Axiome nicht für das ansehen, was sie sind,
nämlich Sätze der Syntax. | ✓ |
| Eine Frage nach der
Beweisbarkeit gibt es nicht, und in sofern auch
keinen Beweis der Beweisbark[eit|Bew]eis
der Be Beweis der Beweisbarkeit.
Der sogenannte Beweis der Beweisbarkeit ist eine Induktion,
deren Erkenntnis die Erkenntnis eines neuen Systems ist.
|
/ |
Ein Beweis der
Widerspruchsfreiheit kann nicht wesentlich sein für die
Anwendung der Axiome. | ✓ |
/ |
Ein Postulat gibt es nur für die Ausdrucksweise.
Die “Axiome” sind Postulate der Ausdrucksweise. 136 | ✓ |
| wenn sie gar nicht da
ist) u.s.w.. Und es entsteht
wieder die Frage: Was ist der Zusammenhang zwischen
Zeichen und Welt. Könnte ich nach etwas suchen, wenn
nicht der Raum da wäre, worin ich es suche?!
Wo knüpft das Zeichen an die Welt an? |
Etwas suchen ist
gewiss ein Ausdruck der Erwartung.
D.h.: Wie man
sucht, drückt irgendwie aus, was man erwartet. | ✓ |
Die Idee wäre also, dass das, was die
Erwartung mit der Realität gemeinsam hat, ist,
dass sie sich auf einen andern Punkt im
selben Raum bezieht. (Raum ganz
allgemein verstanden). | ✓ |
Ich sehe einen
Fleck näher und näher an die Stelle gehen, wo ich ihn
erwartet. | ✓ |
|
Wenn ich sage “ich
erinnere mich an eine Farbe” –
etwa die Farbe eines bestimmten Buches – so könnte man es
als den Beweis dessen ansehen, dass ich im
Stande wäre, diese Farbe wieder zu mischen, oder zu erkennen,
oder von andern Farben zu sagen, sie seien mehr oder weniger weit
von der erinnerten entfernt. |
Die
Erwartung bereitet sozusagen einen Maßstab vor, womit das
eintretende Ereignis gemessen wird, und zwar so,
dass es unbedingt damit gemessen werden kann,
ob es nun mit dem erwarteten Teilstrich zusammenfällt oder
nicht. Es ist etwa, wie wenn ich die Höhe eines Menschen nach dem Augenmaß schätze und sage “ich glaube, er wird 170 cm hoch sein und gehe daran, einen Maßstab an ihn anzulegen. Wenn ich auch nicht weiss, wie hoch er ist, so weiss ich doch, dass seine Höhe mit einem Maßstab und nicht mit einer Waage gemessen wird. | ✓ |
Wenn ich rot zu sehen erwarte, so
bereite ich mich auf rot vor. | ✓ |
Ich kann eine Schachtel vorbereiten, in die ein
Stück Holz passen soll, das ich bekommen soll, und
zwar darum, weil das Stück Holz, wie immer es sein mag
Volumen haben muss. | ✓ |
Wäre der Akt der Erwartung nicht mit der Realität
verknüpft, so könnte man einen Unsinn erwarten.
| ✓ ✓ – |
Die Erwartung von p und das Eintreffen von
p entsprechen etwa der Hohlform
und der Vollform eines Körpers.
p entspricht dabei der Gestalt
des Volumens und die verschiedenen Arten, wie diese
Gestalt gegeben ist, dem Unterschied von Erwartung und
Eintreffen. | ✓ |
Wenn ich sage “ich kann dir das jeden Moment
aufzeichnen”, so setzt das voraus,
dass ich im selben Raum bin in
dem jene Tätigkeit vor sich geht. | ✓ |
Unsere
Erwartung anticipiert das Ereignis.
Sie macht in diesem Sinne ein Modell des Ereignisses.
Wir können aber nur ein Modell von einer Tatsache in der Welt machen, in der 144 | ✓ |
| deutung. |
Die
Kausalität zwischen Sprache und Handlung ist eine externe
Relation, während wir eine interne Relation brauchen.
| ✓ |
| Ich glaube,
Russells Theorie käme
auf Folgendes hinaus: Wenn ich jemandem einen
Befehl geben und, was er darauf tut, mir Freude
macht, so hat er den Befehl ausgeführt.
(Wenn ich einen Apfel essen wollte und mir einer einen Schlag auf den Magen versetzt, so dass mir die Lust zu essen vergeht, dann war es dieser Schlag, den ich ursprünglich wünschte.) |
Die Schwierigkeit
der Darstellung ist hier, dass, wenn man
falsche Annahmen über das Funktionieren der Sprache macht, und
mit dem so Funktionierenden etwas darstellen will, nicht etwas
Falsches, sondern Unsinn sich ergibt. | ✓ |
| So könnte ich natürlich nach der
Russell'schen Theorie es gar nicht ausdrücken,
dass der Befehl ausgeführt ist,
wenn, was geschieht, mir Freude macht, weil ich ja
auch die Freude wiedererkennen muss und
dazu ein weiteres Phänomen
auftre eintreten
muss, was ich wieder nicht von vornherein
beschreiben kann. |
|
Wenn man nun sagt: Bilder kämen zwar vorm,
aber sie seien nicht das Regelmässige;
wie seltsam, wenn sie nun aber einmal da sind und nun ein Widerstreit
der beiden Criterien von wahr
und falsch entstünde. Zu wessen Gunsten sollte
entschieden werden? |
|
Es wäre dann natürlich kein Unterschied
zwischen einem Befehl und seinem Gegenbefehl, denn
beide könnten auf die gleiche Weise befolgt werden. |
Wenn
beim ersten Lernen der Sprache gleichsam die Verbindungen zwischen der
Sprache und den Handlungen hergestellt wird – also die
Verbindungen zwischen den Hebeln und der Maschine – so ist die
Frage, können diese Verbindungen vielleicht
reissen; wenn nicht, dann
muss ich jede Handlung als die richtige
hinnehmen; wenn ja, welches Criterium habe
i ich dafür,
dass sie gerissen ist? Denn
welches Mittel habe ich, die ursprüngliche Abmachung mit
der späteren Handlung zu vergleichen?
| ✓ |
| Das Vergleichen
ist es, was in der Russell'schen Theorie nicht vorkommt. Und
das Vergleichen besteht nicht darin, bei der
Confrontierung der Darstellung mit dem
Dargestellten ein Phänomen zu erleben, das – wie
gesagt – selbst von vornherein nicht beschreibbar
wäre. war. |
(Ob der
Satz wahr oder falsch ist, wird durch die Erfahrung entschieden, aber
nicht sein Sinn). | ✓ |
Wie ist das Bild
gemeint? Die Intention liegt nie im Bild selbst, denn,
wie immer das Bild beschaffen ist, immer kann es auf verschiedene
Weise gemeintb sein. Das sagt aber nicht,
dass, wie das Bild gemeint ist, sich erst
zeigen wird, wenn eine bestimmte Reaktion eingetreten sein wird,
denn die Intention drückt sich schon jetzt darin aus, wie
ich das Bild jetzt mit der Wirklichkeit
vergleiche. | ✓ |
1) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
2) It is unclear whether 'x-1 = 0' is intended as an example of an equation, or a solution to an equation.
3) See facsimile; line connecting this remark with the following one.
4) The drawing is unclear.
5) The drawing is unclear.
6) The drawing is unclear.
7) See facsimile; after 'haben?' there is an arrow pointing right, possibly indicating that this sentence belongs with the remark 'Kann ich mich denn ...' on page 73r.
To cite this element you can use the following URL:
BOXVIEW: http://www.wittgensteinsource.org/BTE/Ts-208_d