3.7.
‘Nehmen wir an, wir haben
einen arithmetischen Satz, der sagt, eine bestimmte Zahl
… könne nicht aus den Zahlen … , … ,
… , durch die & die Operationen
91
gewonnen werden. Und nehmen
wir an, es ließe sich eine Übersetzungsregel geben,
nach
welcher || durch welche dieser
arithmetische Satz in die Ziffer
jener ersten Zahl
, || – die Axiome,
aus denen wir versuchen ihn zu beweisen, in die || unseres
Beweissystems in die … Ziffern jener andern Zahlen –
& unsere Schlußregeln in die im Satz erwähnten
Operationen sich übersetzen ließen. –
Hätten wir dann
den arithmetischen
Satz aus den Axiomen nach unsern Schlußregeln
abgeleitet, so hätten wir
dadurch seine
Ableitbarkeit demonstriert, aber auch einen Satz bewiesen, den
man nach jener Übersetzungsregel dahin aussprechen
kann || muß: dieser
arithmetische Satz (nämlich
unserer) sei unableitbar.
Was
wäre nun da zu tun? Ich denke mir, wir schenken
unserer
Konstruktion des
Satzzeichens
glauben, also dem
geometrischen Beweis.
Wir sagen also, diese ‘Satzfigur’ ist aus jenen
so & so gewinnbar. Und übertragen, nur, in
eine andre Notation heißt das: diese Ziffer
ist mittels dieser Operationen aus jenen zu ge
winnen.92
Soweit hat der Satz
& sein Beweis nichts mit einer besonderen
Logik zu
tun. Hier war jener konstruierte Satz einfach eine
andere Schreibweise der konstruierten Ziffer; sie hatte die
Form eines Satzes aber wir verglichen
ihn || sie nicht mit andern Sätzen
als
Zeichen, welches dies oder jenes
sagt, einen
Sinn
hat.