Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem Begriff zu
tun? Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu fragen, ob
es einen Sinn hat, von einer Anzahl von Gegenständen zu reden,
die nicht unter einen Begriff gebracht sind. Hat es
z.B. Sinn zu sagen “a, b
und c sind drei Gegenstände”? – Es ist allerdings ein Gefühl vorhanden, das
uns sagt: Wozu von Begriffen reden, die Zahl hängt
ja nur vom
Umfang des Begriffes ab, und wenn der
einmal bestimmt ist, so kann der Begriff sozusagen abtreten.
Der Begriff ist
nur eine Methode || nur ein Hilfsmittel, um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig und in
seinem Wesen unabhängig vom Begriff; denn es kommt ja auch
nicht darauf an, durch welchen Begriff wir den Umfang bestimmt
haben. Das ist das Argument für die extensive
Auffassung. Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn
der Begriff wirklich nur ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu
gelangen, dann hat der Begriff in der Arithmetik nichts zu suchen;
dann muß man eben die Klasse
gänzlich von dem zufällig mit ihr verknüpften
Begriff scheiden. Im entgegengesetzten Fall aber ist
der
, vom Begriff unabhängige Umfang nur eine
Chimaire und dann
ist es besser, von ihm überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom
Begriff.
Das Zeichen für den Umfang
eines Begriffes ist eine Liste. Man könnte
– beiläufig – sagen: die
Zahl || Anzahl ist die externe Eigenschaft
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eines Begriffs und die
interne seines Umfangs
(der Liste der
Gegenstände, die unter ihn fallen).
Die Anzahl
ist das Schema eines Begriffsumfangs.
D.h.: die Zahlangabe ist, wie
Frege sagte, die Aussage
über einen Begriff (ein Prädikat). Sie
bezieht sich nicht auf einen Begriffsumfang,
d.i. auf eine Liste, die etwa der Umfang
eines Begriffes sein kann. Aber die Zahlangabe über
einen Begriff ist ähnlich dem Satz, welcher aussagt,
daß eine bestimmte Liste der Umfang
dieses Begriffs sei. Von so einer Liste wird Gebrauch
gemacht, wenn ich sage: “a, b, c, d fallen unter
den Begriff F(
x)”.
“a, b, c, d” ist die Liste.
Natürlich sagt der Satz nichts anderes, als
Fa
& Fb & Fc & Fd; aber er zeigt, mit
Hilfe der Liste geschrieben, seine Verwandtschaft mit
“(
∃x,y,z,u).Fx & Fy & Fz
& Fu”, welches wir kurz
“(
∃❘ ❘ ❘ ❘x).F(x)”
schreiben können.
Die Arithmetik
hat es mit dem Schema
❘ ❘ ❘ ❘
zu tun. – Aber redet denn die Arithmetik von
Strichen, die ich mit Bleistift auf Papier mache? –
Die Arithmetik redet nicht von den Strichen, sie
operiert mit ihnen.