Man könnte – wie gesagt – den Induktionsbeweis ganz ohne die
Benützung von Buchstaben (mit voller Strenge) anschreiben.
Die rekursive Definition a + (b + 1) =
(a + b) + 1 müßte dann als
Definitionsreihe geschrieben werden.
Diese Reihe verbirgt sich nämlich in der Erklärung
ihres
Gebrauchs.
Man kann natürlich auch der Bequemlichkeit halber die
Buchstaben in der Definition beibehalten,
muß sich aber dann in der Erklärung auf
ein Zeichen der Art “1, (1) + 1, ((1) + 1) + 1,
u.s.w.” beziehen; oder, was auf
dasselbe hinausläuft,
“
[1, x,
x + 1
]”.
Hier darf man aber nicht etwa glauben, daß dieses
Zeichen eigentlich lauten sollte
“(x).
[
1, x, x + 1
]”! –
Der Witz unserer Darstellung ist ja, daß der Begriff
“alle Zahlen” nur durch eine Struktur der Art
“
[1, x,
x + 1
]” gegeben ist.
Die Allgemeinheit ist durch diese Struktur im Symbolismus
dargestellt und kann nicht durch ein
(x).fx
beschrieben werden.
Natürlich ist die sogenannte “rekursive Definition”
keine Definition im hergebrachten Sinne des Worts, weil keine
Gleichung.
Denn die Gleichung “a + (b + 1) =
(a + b) + 1” ist nur ein Bestandteil von
ihr.
Noch ist sie das logische Produkt von Gleichungen.
Sie ist vielmehr ein Gesetz, wonach Gleichungen gebildet werden; wie
[1, x,
x + 1
] keine Zahl ist, sondern ein Gesetz
etc..
(Das
Überraschende ||
Verblüffende am Beweis von
a + (b + c) =
(a + b) + c ist ja, daß er aus
einer Definition allein hervorgehen soll.
Aber u
ist keine Definition, sondern eine allgemeine
Additionsregel.)
Anderseits ist die Allgemeinheit dieser Regel keine andere, als die der
periodischen Division
11 : 3 = 0
˙3.
D.h. es ist in der Regel nichts offen
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gelassen, ergänzungsbedürftig oder
dergleichen.
Und vergessen wir nicht:
Das Zeichen
“
[1, x,
x + 1
]” …N interessiert uns nicht als
ein suggestiver Ausdruck des allgemeinen Gliedes der
Kardinalzahlenreihe, sondern nur, sofern es mit analog gebauten
Zeichen in Gegensatz tritt: N
im Gegensatz zu,
etwa,
[2, x,
x + 3
]; kurz als Zeichen, als Instrument, in einem
Kalkül.
Und das Gleiche gilt natürlich von
11 : 3 = 0
˙3.
(Offen gelassen wird in der Regel nur ihre Anwendung.)