Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem
Begriff zu tun? Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu
fragen, ob es einen Sinn hat von einer Anzahl von Gegenständen zu
reden die nicht unter einen Begriff gebracht sind. Hat es
z.B. Sinn zu sagen
:
„a, b, & c sind 3
Gegenstände”? – Es ist allerdings ein
Gefühl vorhanden, das uns sagt: Wozu von Begriffen
reden, die Zahl hängt ja nur vom
Umfang des Begriffes
ab & wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff
sozusagen abtreten. Der Begriff ist
nur eine Methode || nur ein
Mittel || Hilfsmittel um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig
& in seinem Wesen unabhängig vom Begriff; denn es kommt
ja auch nicht darauf an, durch welchen Begriff wir den Umfang bestimmt
haben. Das ist das Argument
für
die
extensionale || extensive Auffassung.
Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn der Begriff
wirklich nur ein Hilfsmittel ist, um zum Umfang zu gelangen, dann hat
der Begriff in der Arithmetik nichts zu suchen; dann muß man eben
die Klasse gänzlich von dem zufällig mit ihr
verknüpften Begriff scheiden. Im entgegengesetzten
Fall aber ist der vom Begriff unabhängige Umfang nur eine
Chimäre & dann ist es besser von ihm
überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom Begriff.
Das Zeichen für den Umfang eines Begriffes
ist eine Liste. Man könnte – beiläufig
– sagen: die
Zahl || Anzahl ist die
externe Eigenschaft eines Begriffs & die interne
seines Umfangs (der Liste der Gegenstände, die unter ihn
fallen).
Die Anzahl ist das Schema eines
Begriffsumfangs. D.h.:
Die Zahlangabe ist, wie Frege sagte, die Aussage über einen Begriff (ein
Prädikat). Sie bezieht sich nicht auf einen
Begriffsumfang, d.i. auf eine
Liste die etwa der Umfang eines Begriffes sein kann. Aber
die Zahlangabe über einen Begriff ist ähnlich dem
Satz welcher aussagt daß eine bestimmte Liste der Umfang dieses
Begriffs sei. Von so einer Liste wird Gebrauch gemacht wenn
ich sage: „a, b, c, d fallen
unter den Begriff F(x)”.
„a, b, c, d” ist die
Liste. Natürlich sagt der Satz nichts anderes
als Fa ∙ Fb ∙ Fc ∙ Fd
;
aber er zeigt, mit Hilfe der Liste geschrieben, seine
Verwandtschaft
mit
∃x,y,z,u) Fx ∙ Fy ∙ Fz ∙ Fu,
welches wir kurz
„(∃❘ ❘ ❘ ❘x) ∙ F(x)”
schreiben können.
Die Arithmetik hat es
mit dem Schema ❘ ❘ ❘ ❘ zu
tun. – Aber redet denn die Arithmetik von Strichen die
ich mit Bleistift auf Papier mache? – Die
Arithmetik
redet von gar nichts, sie operiert mit den Strichen || redet nicht von den Strichen, sie operiert mit
ihnen.