“Welches Kriterium gibt es
dafür, daß die irrationalen
Zahlen komplett sind? Sehen wir uns eine irrationale Zahl
an: Sie läuft entlang einer Reihe rationaler
Näherungswerte. Wann
verläßt sie diese Reihe?
Niemals. Aber sie kommt allerdings auch niemals zu einem
Ende.
Angenommen, wir hätten die
Gesamtheit aller
rationalen || irrationalen Zahlen mit Ausnahme einer einzigen.
Wie würde uns diese abgehen? Und wie würde
sie nun – wenn sie dazukäme, die Lücke
füllen? – Angenommen, es wäre
π.
Wenn die irrationale Zahl durch die Gesamtheit ihrer
Näherungswerte gegeben ist, so gäbe es bis zu
jedem beliebigen Punkt eine Reihe, die mit der von
π
übereinstimmt. Allerdings kommt für jede solche
Reihe ein Punkt der Trennung. Aber dieser Punkt kann
beliebig weit “draußen”
liegen, so daß ich zu jeder Reihe, die
π begleitet,
eine finden kann, die es weiter begleitet. Wenn ich also
die Gesamtheit der irrationalen Zahlen habe,
außer
π, und nun
π einsetze,
so kann ich keinen Punkt angeben, an dem
π nun wirklich
nötig wird, es hat an
jedem Punkt einen
Begleiter, der es vom Anfang an begleitet.
Auf die Frage “wie würde uns
π
abgehen”, müßte man
antworten:
π, wenn es
eine Extension wäre, würde uns niemals abgehen.
D.h., wir könnten
niemals eine Lücke bemerken, die es füllt. Wenn
man uns fragte: “aber hast Du auch einen unendlichen
Dezimalbruch, der die Ziffer m an der r-ten
Stelle hat und n an der s-ten,
etc.?” – wir könnten ihm
immer dienen.)
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