Wenn in den
Diskussionen über die Beweisbarkeit der mathematischen
Sätze gesagt wird, es gäbe wesentlich Sätze der
Mathematik, deren Wahrheit oder Falschheit unentschieden bleiben
müsse, so
bedenken ||
wissen, die es sagen, nicht,
daß solche Sätze,
wenn wir
sie gebrauchen können und “Sätze”
nennen wollen, ganz andere Gebilde sind, als was sonst
“Satz” genannt wird: denn der Beweis
ändert die Grammatik des Satzes. Man kann wohl ein
und dasselbe Brett einmal als Windfahne, ein andermal als Wegweiser
verwenden; aber das feststehende nicht als Windfahne und das
bewegliche nicht als Wegweiser. Wollte jemand sagen
“es gibt auch bewegliche Wegweiser”, so
würde ich ihm antworten: “Du willst wohl sagen,
‘es gibt auch bewegliche
Bretter’; und
ich sage nicht, daß das bewegliche Brett
unmöglich irgendwie verwendet werden kann, – nur nicht
als Wegweiser”.
Das Wort
“Satz”, wenn es hier überhaupt Bedeutung haben
soll, ist äquivalent einem Kalkül und zwar jedenfalls
dem, in welchem p
¤ ⌵
¤
nonp =
Taut. ist (das “Gesetz des
ausgeschlossenen Dritten” gilt). Soll es
nicht
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gelten, so haben wir den Begriff des
Satzes geändert. Aber wir haben damit keine
Entdeckung gemacht (etwas gefunden, das ein Satz ist, und
dem und dem Gesetz nicht gehorcht); sondern eine neue
Festsetzung getroffen, ein neues Spiel angegeben.