138 uns a, indem wir die Distanz von
a zu b mit unsern Meßinstrumenten
halbieren und ziehen c.
“Siehst Du c größer als
a?” –
“Ja”.
Wir halbieren die Distanz c–a und ziehen d.
“Siehst Du d größer als
a?” –
“Ja”.
Wir halbieren a–d.
“Siehst Du e größer als
a?” –
“Nein”.
Wir halbieren daher e–d.
“Siehst Du f größer als
e?” –
“Ja”.
Wir halbieren also e–f und ziehen h.
Wir könnten uns so auch von der linken Seite der Strecke a nähern,
und dann sagen, daß einer gesehenen Länge a
im euklidischen Raum nicht
eine Länge, sondern ein Intervall von Längen entspricht,
und in ähnlicher Weise einer gesehenen Lage eines Strichs
(etwa des Zeigers eines Instruments) ein Intervall von Lagen im
euklidischen Raum: aber dieses
Intervall hat nicht scharfe Grenzen.
Das heißt: es ist nicht von Punkten begrenzt,
sondern von konvergierenden Intervallen, die nicht gegen einen Punkt
konvergieren.
(Wie die Reihe der Dualbrüche, die wir durch Werfen von Kopf und
Adler erzeugen.)
Das Charakteristische zweier Intervalle, die so nicht durch Punkte
sondern unscharf begrenzt sind, ist, daß
auf die Frage, ob sie einander übergreifen oder getrennt voneinander
liegen, in gewissen Fällen die Antwort lautet:
“unentschieden”.
Und daß die Frage, ob sie einander berühren,
einen Endpunkt miteinander gemein haben, immer sinnlos ist,
da sie ja keine Endpunkte haben.
Man könnte aber sagen: sie haben vorläufige
Endpunkte.
In dem Sinne, in welchem die Entwicklung von π
ein vorläufiges Ende hat.
An dieser Eigenschaft des ‘unscharfen’
Intervalls ist natürlich nichts geheimnisvolles, sondern das
etwas Paradoxe klärt sich durch die
doppelte Verwendung des Wortes “Intervall” auf.
Es ist dies der gleiche Fall, wie der der doppelten Verwendung des Wortes “Schach”, wenn es einmal die Gesamtheit der jetzt geltenden Schachregeln bedeutet, ein andermal: das Spiel, welches N.N. in Persien erfunden hat und welches sich so und so entwickelt hat. In einem Fall ist es unsinnig, von einer Änderung || Entwicklung der Schachregeln zu reden, im andern Fall nicht. Wir können “Länge einer gemessenen Strecke” entweder das nennen, was bei einer bestimmten Messung, die ich heute um 5 Uhr durchführe, 139 herauskommt, – dann gibt es für
diese Längenangabe kein “ ±
etc.” – oder
etwas, dem sich Messungen nähern
etc.: in den zwei
Fällen wird das Wort “Länge” mit ganz verschiedener
Grammatik gebraucht.
Und ebenso das Wort “Intervall”, wenn ich einmal
etwas Fertiges, einmal etwas sich Entwickelndes
ein Intervall nenne. I) die Intervalle liegen getrennt II) sie liegen getrennt und berühren sich vorläufig III) unentschieden IV) unentschieden V) unentschieden VI) sie übergreifen VII) sie übergreifen Jener Versuch ergibt also wesentlich, was wir ein “unscharfes” Intervall genannt haben; dagegen wären natürlich andere Experimente möglich || denkbar, die statt dessen ein scharfes Intervall ergeben. Denken wir etwa, wir bewegten ein Lineal von der Anfangsstellung b, und parallel zu dieser, gegen a hin, bis in unserm Subjekt irgend eine bestimmte Reaktion einträte: dann könnten wir den Punkt, an dem die Reaktion beginnt, die Grenze unseres Streifens nennen. – So könnten wir natürlich auch ein Wägungsresultat “das Gewicht eines Körpers” nennen und es gäbe dann in diesem Sinn eine absolut genaue Wägung, d.i. eine, deren Resultat nicht die Form “G ± g” hat. Wir haben 140 damit unsere Ausdrucksweise geändert,
und müssen nun sagen, daß das Gewicht des Körpers
schwankt und zwar nach einem uns unbekannten Gesetz.
(Die Unterscheidung
zwischen “absolut genauer” Wägung und “wesentlich
ungenauer” Wägung ist eine grammatische || Der Unterschied
zwischen “absolut genauer” Wägung und “wesentlich
ungenauer” Wägung ist ein grammatischer und bezieht sich auf
zwei verschiedene Bedeutungen des Ausdrucks “Ergebnis der
Wägung”.) |