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Hat die Anzahl wesentlich etwas mit einem Begriff zu tun?
Ich glaube, das kommt darauf hinaus, zu fragen, ob es einen Sinn hat,
von einer Anzahl von Gegenständen zu reden, die nicht unter einen Begriff
gebracht sind.
Hat es
z.B. Sinn zu sagen “a, b und
c sind drei Gegenstände”? –
Es ist allerdings ein Gefühl vorhanden, das uns sagt: Wozu
von Begriffen reden, die Zahl hängt ja nur vom Umfang des
Begriffes ab, und wenn der einmal bestimmt ist, so kann der Begriff
sozusagen abtreten.
Der Begriff ist nur eine Methode //
ein nur ein Hilfsmittel // , um einen
Umfang zu bestimmen, der Umfang aber ist selbständig und in seinem Wesen
unabhängig vom Begriff; denn es kommt ja auch nicht
daruaf an,
durch welchen Begriff wir den Umfang bestimmt haben.
Das ist das Argument für die extensive Auffassung.
Dagegen kann man zuerst sagen: Wenn der Begriff wirklich
582 nur ein Hilfsmittel ist, um zum
Umfang zu gelangen, dann hat der Begriff in der Arithmetik nichts zu
suchen; dann muss man eben die Klasse gänzlich
von dem zufällig mit ihr verknüpften Begriff scheiden.
Im g entgegengesetzten Fall aber ist der vom
Begriff unabhängige Umfang nur eine Chimaire und
dann ist es besser, von ihm überhaupt nicht zu reden, sondern nur vom
Begriff.
Das Zeichen für den Umfang eines Begriffes ist eine Liste.
Man könnte – beiläufig – sagen: die Zahl // Anzahl // ist die externe Eigenschaft
eines Begriffs und die interne seines Umfangs (der Liste der
Gegenstände, die unter ihn fallen).
Die Anzahl ist das Schema eines Begriffsumfangs.
D.h.: die Zahlangabe ist, wie
Frege sagte, die Aussage über einen
Begriff (ein Prädikat).
Sie bezieht sich nicht auf einen Begriffsumfang,
d.i. auf eine Liste, die etwa der Umfang eines
Begriffes sein kann.
Aber die Zahlangabe über einen Begriff ist ähnlich dem Satz,
welcher aussagt, dass eine bestimmte Liste der
Umfang dieses Begriffs sei.
Von so einer Liste wird Gebrauch gemacht, wenn ich sage:
“a, b, c, d fallen unter den Begriff
F(x)”.
“a, b, c, d” ist die Liste.
Natürlich sagt der Satz nichts anderes, als
Fa & Fb
& Fc & Fd; aber er zeigt, mit Hilfe der Liste
geschrieben, seine Verwandtschaft mit
“(Ex,y,z,u). Fx & Fy
& Fz & Fu”, welches wir kurz
“(E
!!!!x).F(x)”
schreiben können.
Die Arithmetik hat es mit dem Schema !!!! zu tun. –
Aber redet denn die Arithmetik von Strichen, die ich mit Bleistift auf
Papier mache? –
Die Arithmetik redet nicht von den Strichen, sie operiert
mit ihnen.
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