(Wenn wir statt “(
Еx) &
(
Еx)
⊃ (
Еx,y)”
schrieben: “(
Еx) &
(
Еx)
⊃ (
Еx + x)”, so hätte
das keinen Sinn; es sei denn, daß die Notation von
vornherein nicht I) “(
Еx)
etc.”, “(
Еx,y)
etc.”,
“(
Еx,y,z)
etc.” lautet, sondern:
K) “(
Еx)
etc.”, “(E x +
x)
etc.”,
“(E x + x + x)
etc.”.
Denn warum sollten wir plötzlich statt
“(
Еx,y) &
(
Еx)
⊃ (
Еx,y,z)”
schreiben:
“(
Еx,y)
& (
Еx)
⊃ (
Еxy +
x)”? das wäre nur eine Verwirrung der
Notation. –
Nun sagt man: Es vereinfacht doch das Hinschreiben der
Tautologie sehr, wenn man in der rechten Klammer gleich die
Ausdrü
cke der beiden linken
hinschreiben kann.
Aber diese Schreibweise ist ja noch gar nicht erklärt; ich
weiß ja nicht, was (
Еxy +
z) bedeutet, daß nämlich
(
Еxy + x) =
(
Еx,y,z) ist.
Wenn man aber von vornherein die Notation
“(
Еx)”,
“(
Еx + x)”,
625
595
“(
Еx + x +
x)”, so hätte
vorerst nur der Ausdruck “(
Еx + x + x
+ x)” Sinn, aber nicht
“(
Е(x + x) + (x + x))”.
Die Notation K ist
auf
einer Stufe mit || im gleichen Fall wie
I.
Daß ||
Ob sich in der Form v
eine Tautologie ergibt, kann man etwa kurz durch das Ziehen von
Verbindungslinien kalkulieren, also
(
Еx,y) &
(
Еx,y)
⊃ (
Еx,y,z,u) und analog
(
Еx + x)
& (
Еx + x)
⊃ (
Еx + x + x +
x).
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Die
Bögen || Verbindungslinien
entsprechen
nur der Regel, die in jedem Fall für die Kontrolle
der Tautologie gegeben sein muß.
Von einer Addition ist hier noch keine Rede.
Die tritt erst ein, wenn ich mich entschließe
–
z.B. – statt
“x, y, z, u” “xy +
xy” zu schreiben, und zwar in Verbindung mit einem
Kalkül, der nach Regeln die Ableitung einer Ersetzungsregel
“xy + xy = xyzu”
erlaubt.
Addition liegt auch dann nicht vor, wenn ich in der Notation
K schreibe “(
Еx) &
(
Еx)
⊃ (
Еx + x)”, sondern
erst, wenn ich zwischen “x + x”
und “(x) + (x)”
unterscheide und schreibe:
(x) + (x) = (x +
x).