     Russells Erklärung der Gleichzahligkeit ist aus verschiedenen Gründen ungenügend. Aber die Wahrheit ist, dass man in der Mathematik keine solche Erklärung der Gleichzahligkeit braucht. Hier ist überhaupt alles falsch aufgezäumt.
     Was uns verführt die Russell'sche, oder Frege'sche, Erklärung anzunehmen, ist der Gedanke, zwei Klassen von Gegenständen (Aepfeln in zwei Kisten) seien gleichzahlig, wenn man sie einander 1 zu 1 zuordnen könne. Man denkt sich die Zuordnung als eine Kontrolle der Gleichzahligkeit. Und hier macht man in Gedanken wohl noch eine Unterscheidung zwischen Zuordnung und Verbindung durch eine Relation; und zwar wird die Zuordnung zur Verbindung, was die “geometrische Gerade” zu einer wirklichen ist, eine Art idealer Verbindung; einer Verbindung, die quasi von der Logik vorgezeichnet ist und durch die Wirklichkeit nun nachgezogen werden kann. Es ist die Möglichkeit, aufgefasst als eine schattenhafte Wirklichkeit. Dies hängt dann wieder mit der Auffassung von “(Ex). fx” als Ausdruck der Möglichkeit von fx zusammen.
     “f und F sind gleichzahlig” (ich werde dies schreiben “S(f,F)”, oder auch einfach “S”) soll ja aus “f5 & F5” folgen; aber aus f5 & F5 folgt nicht, dass f und F durch eine 1–1 Relation R verbunden sind (dies werde ich “P(f,F)” oder “P” schreiben). Man hilft sich, indem man sagt, es bestehe dann eine Relation der Art

566

611

“x = a & y = b . V . x = c & y = d . V . u.s.w.”.
Aber, erstens, warum definiert man dann nicht gleich S als das Bestehen einer solchen Relation. Und wenn man darauf an[f|t]wortet, diese Definition // Erklärung // würde die Gleichzahligkeit bei unendlichen Anzahlen nicht einschliessen, so ist zu sagen, dass dies nur auf eine Frage der “Eleganz” hinausläuft, da ich letzten Endes für endliche Zahlen meine Zuflucht doch zu den “extensiven” Beziehungen nehmen müsste. Aber diese führen uns auch zu nichts; denn, zu sagen, zwischen f und F bestehe eine Beziehung – z.B. – der Form x = a & y = b . V . x = c & y = d sagt nichts andres, als
(Ex,y). fx & fy . & . non (Ex,y,z). fx & fy & fz : & : : & : (Ex,y). Fx & Fy . & . non (Ex,y,z). Fx & Fy & Fz .
(Was ich in der Form schreibe

(E_n2x). fx & (E_n2x). Fx

. Und, zu sagen, zwischen f und F bestehe eine der Beziehungen
x = a & y = b ; x = a & y = [b|d] . V . x = c & y = d ; etc. etc., heisst nichts andres als, es bestehe eine der Tatsachen f1 & F1 ; f2 & F2; etc. etc. Nun hilft man sich mit der grösseren Allgemeinheit, indem man sagt, zwischen f und F bestehe irgend eine 1–1 Relation und vergisst, dass man dann doch für die

Bezeichnung
Beziehung

dieser Allgemeinheit die Regel festlegen muss, nach welcher “irgend eine Relation” auch die Relationen der Form x = a & y = b etc. einschliesst. Dadurch, dass man mehr sagt, kommt man nicht darum herum, das Engere zu sagen, das in dem Mehr vorhanden sein soll. (Die Logik lässt sich nicht betrügen.)
In dem Sinne von S also, in welchem S aus f5 & F5 folgt, wird es durch die Russell'sche Erklärung nicht erklärt. Vielmehr braucht man da eine Reihe von Erklärungen

fo & S = fo & Fo = Fo & S
f1 & S = f1 & F1 = F1 & S …A
etc. ad inf.

Dagegen wird P als Kriterium der Gleichzahligkeit gebraucht und kann natürlich in einem andern Sinne von S auch S gleichge-

612

setzt werden. (Und man kann dann nur sagen: Wenn in Deiner // einer // Notation S = P ist, dann bedeutet S nichts andres als P.)
Es folgt zwar nicht P aus f5 & F5, wohl aber f5 & F5 aus P & f5.

P & f5 = P & f5 & F5 = P & F5

u.s.w..

Also kann man schreiben:

P & fo = P & fo & Fo = P & fo & S
P & f1 = P & f1 & F1 = P & f1 & S … B
P & f2 = P & f2 & F2 = P & f2 & S u.s.w. ad inf..

Und dies kann man dadurch ausdrücken, dass man sagt, die Gleichzahligkeit folge aus P. Und man kann auch die Regel geben P & S = P, die mit den Regeln, oder der Regel, B und der Regel A übereinstimmt.

(2015–) Wittgenstein Source Bergen Nachlass Edition (WS-BNE). Edited by the Wittgenstein Archives at the University of Bergen under the direction of Alois Pichler. In: Wittgenstein Source, curated by Alois Pichler (2009–) and Joseph Wang-Kathrein (2020–). (N) Bergen: WAB.