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(Das könnte
z.B. tatsächlich die primitive
Geometrie eines Volkes sein.
Und für sie gälte das, was ich über die Gleichberechtigung der
Zahlenreihe “1, 2, 3, 4, 5, viele” mit der Reihe der
Kardinalzahlen gesagt habe.
Ueberhaupt ist es für unsere Untersuchungen ein
guter Trick, sich die Arithmetik oder Geometrie eines
primitiven Volks auszumalen //
vorzustellen // .)
Ich will diese Geometrie das System T nennen und fragen:
“ist die 3-Teilung der Strecke im System T
möglich?”
Welche 3-Teilung ist in dieser Frage gemeint? – denn davon
hängt offenbar der Sinn der Frage ab.
Ist
z.B. die physikalische 3-Teilung
gemeint?
D.h. die 3-Teilung durch Probieren und
Nachmessen.
In diesem Falle ist die Frage vielleicht zu bejahen.
Oder die optische 3-Teilung?
d.h. die Teilung, deren Resultat drei gleichlang
aussehende Teile sind?
Wenn wir
z.B. durch ein verzerrendes Medium
sehen, so ist es ganz leicht vorstellbar, dass uns
die Teile a, b, und c gleichlang erscheinen.
Nun könnte man die Resultate der Teilungen im System T nach
der Zahl der erzeugten Teile durch die Zahlen
2, 2², 2³,
u.s.w. darstellen; und die Frage, ob
die 3-Teilung möglich ist, könnte bedeuten: ist eine der
Zahlen in dieser Reihe = 3.
Diese Frage kann freilich nur gestellt werden, wenn die
2, 2², 2³,
etc. in einem andern System (etwa den
Kardinalzahlen) eingebettet sind; nicht, wenn sie selbst unser
Zahlensystem sind; denn dann kennen wir – oder unser System –
eben die 3 nicht. –
Aber wenn unsere Frage lautet: ist eine der Zahlen
2, 2²,
etc. gleich 3, so ist hier eigentlich von einer
3-Teilung der Strecke nicht die Rede.
Immerhin kann // könnte // die Frage
nach der Möglichkeit der 3-Teilung so aufgefasst
werden. –
Eine andere Auffassung erhalten wir, nun, wenn wir dem System
T ein System V hinzufügen, worin es die Streckenteilung
nach Art dieser Figur gibt.
Es kann nun gefragt werden: ist die Teilung V in
693 655
108 Teile eine Teilung der Art T?
Und diese Frage könnte wieder auf die hinauslaufen: ist 108 eine
Potenz von 2? aber sie könnte auch auf eine andere
Entscheidungsart hinweisen (einen andern Sinn haben), wenn wir die
Systeme T und V zu einem geometrischen Konstruktionssystem
[g|v]erbinden; so zwar, dass es sich nun
in diesem System beweisen lässt,
dass die beiden Konstruktionen die gleichen
Teilungspunkte B, C, D “liefern müssen”.
Denken wir nun, es hätte Einer im
System T eine Strecke AB in 8 Teile geteilt, nehme diese nun
zu den Strecken a, b, c zusammen und fragte: ist das
eine 3-Teilung // eine Teilung in 3 gleiche
Teile // .
(Wir könnten uns den Fall übrigens leichter mit einer
grösseren Anzahl ursprünglicher Teile vorstellen,
die es möglich macht, 3 gleichlang aussehende Gruppen von
Teilen zu bilden.)
Die Antwort auf diese Frage wäre der Beweis, dass
2³ nicht durch 3
teilbar ist; oder der Hinweis darauf, dass sich die
Teile a, b, c wie
1:3:4
verhalten.
Und nun könnte man fragen: habe ich also im System T nicht
doch einen Begriff von der 3-Teilung, nämlich der Teilung, die die
Teile a, b, c im Verhältnis
1:1:1
hervorbringt?
Gewiss, ich habe nun einen neuen Begriff
‘3-Teilung einer Strecke’ eingeführt; wir könnten
ja sehr wohl sagen, dass wir durch die
8-Teilung der Strecke AB die Strecke CB in 3 gleiche Teile geteilt haben, wenn das
eben
heissen soll: wir haben eine
Strecke erzeugt, die aus 3 gleichen Teilen besteht.
Die Perplexität, in der wir uns bezüglich des Problems der
3-Teilung befanden, war etwa die: Wenn die
3-Teilung des Winkels unmöglich ist – logisch unmöglich –
wie kann man dann überhaupt nach ihr fragen?
Wie kann man das logisch Unmögliche beschreiben und nach seiner
Möglichkeit sinnvoll fragen?
D.h., wie kann man logisch nicht
zusammenpassende Begriffe zusammenstellen (gegen die Grammatik, also
unsinnig) und sinnvoll nach der
656 Möglichkeit dieser Zusammenstellung
fragen? –
Aber dieses Paradox fände sich ja wieder, wenn man fragt:
“ist 25 × 25
= 620?” – da es doch
logisch unmöglich ist, dass diese
Gleichung stimmt; ich kann ja nicht beschreiben, wie es wäre, wenn
–.
Ja, der Zweifel ob 25
× 25 = 620 (oder der, ob es
= 625 ist) hat
eben den Sinn, den die Methode der Prüfung ihm gibt.
Und die Frage nach der Möglichkeit der 3-Teilung hat den Sinn, den
die Methode der Prüfung ihr gibt.
Es ist ganz richtig: wir stellen uns hier nicht vor, oder
beschreiben, wie es ist, wenn
25 × 25 =
620 ist, und das heisst eben,
dass wir es hier mit einer andern
(logischen) Art von Frage zu tun haben, als etwa der:
“ist diese Strasse 620 oder 625
m
lang?”
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