Die Gleichungen: 3 + 2 = 5 + 1, 3 × (a + 1) = (3 ×
a) + 3, (5 + b) + 3 =
5 + (b + 3) im Gegensatz also etwa zu
3 + 2 =
5 + 6, 3
× (a + 1) = (4 × a) + 2,
etc..
Aber dieses Gegenteil entspricht ja nicht dem Satz
(
∃x). fx. –
Ferner ist nun mit jener Induktion im Gegensatz jeder
Satz von der Form non- f(n),
nämlich || d.h. der Satz
“non-f(2)”,
“non-f(3)”,
687
669
u.s.w.;
d.h. die Induktion
ist
das Gemeinsame in
der Ausrechnung || den Ausrechnungen von
f(2),
f(3),
u.s.w.; aber sie ist nicht die Ausrechnung
“aller Sätze der Form f(n)”, da ja nicht eine
Klasse von Sätzen in dem Beweis vorkommt, die ich “alle Sätze
der Form f(n)” nenne.
Jede einzelne nun von diesen Ausrechnungen ist die Kontrolle eines
Satzes von der Form f(n).
Ich konnte nach der Richtigkeit dieses Satzes fragen und eine Methode
zu ihrer Kontrolle anwenden, die durch die Induktion nur auf eine
einfache Form gebracht war.
Nenne ich aber die Induktion “den Beweis eines allgemeinen
Satzes”, so kann ich nach der Richtigkeit dieses Satzes nicht
fragen (sowenig, wie nach der Richtigkeit der Form der
Kardinalzahlen).
Denn, was ich Induktionsbeweis nenne, gibt mir keine Methode zur
Prüfung, ob der allgemeine Satz richtig oder falsch ist;
diese Methode müßte mich vielmehr lehren,
auszurechnen (zu prüfen), ob sich für einen bestimmten Fall eines
Systems von Sätzen eine Induktion bilden läßt, oder
nicht.
(Was so geprüft wird, ist, ob alle n die oder jene Eigenschaft
haben, wenn ich so sagen darf; aber nicht, ob alle sie haben, oder ob
es einige gibt, die sie nicht haben.
Wir rechnen
z.B. aus, daß
die Gleichung
x² + 3x + 1 =
0 keine rationalen Lösungen hat (daß
es keine rationale Zahl gibt, die …) und nicht die Gleichung
x² + 2x +
–, dagegen
die Gleichung x² + 2x
+ 1 = 0,
etc..)