Denken wir, es stritten sich Leute darüber, ob in der Division
1:3 lauter
Dreier im Quotienten herauskommen müßten; sie hätten
aber keine Methode,
wie dies zu entscheiden sei || um dies zu entscheiden.
Nun bemerkt Einer von ihnen die induktive Eigenschaft von
und sagt:
jetzt weiß ich's, es müssen lauter 3 im
Quotienten stehen.
Die Andern hatten an
diese Art der Entscheidung nicht
gedacht.
Ich nehme an, es habe ihnen unklar etwas von einer Entscheidung durch
stufenweise Kontrolle vorgeschwebt, und daß sie
diese Entscheidung freilich nicht herbeiführen könnten.
Halten sie nun an ihrer extensiven Auffassung fest, so ist
aller
dings
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durch die Induktion eine Entscheidung herbeigeführt, denn
die Induktion zeigt für jede Extension des Quotienten,
daß sie aus lauter 3 besteht.
Lassen sie aber die extensive Auffassung fallen, so entscheidet die
Induktion nichts.
Oder nur das, was die Ausrechnung von
entscheidet: nämlich, daß ein Rest bleibt, der
g
leich dem Dividenden ist.
Aber mehr nicht.
Und nun kann es allerdings eine richtige Frage geben,
nämlich: ist der Rest, der bei dieser Division bleibt, gleich
dem Dividenden? und diese Frage ist jetzt an die Stelle der alten
extensiven getreten und ich kann natürlich den alten Wortlaut
beibehalten, aber er ist jetzt außerordentlich
irreleitend, denn
sie || er
läßt es immer so erscheinen, als wäre die
Erkenntnis der Induktion nur ein Vehikel, das uns in die
Unendlichkeit tragen kann.
(Das hängt auch damit zusammen, daß das
Zeichen “u.s.w.” sich auf
eine interne Eigenschaft des Reihenstückes, das ihm vorhergeht,
bezieht und nicht auf seine Extension.)
Die Frage “gibt es eine rationale Zahl, die die Wurzel von
x² + 3x + 1 =
0 ist” ist freilich durch eine Induktion
entschieden
, || : – aber hier habe ich eben eine
Methode
konstruiert, um Induktionen zu
bilden; und
die Frage hat ihren Wortlaut nur, weil es sich um eine Konstruktion von
Induktionen handelt.
D.h. die Frage wird durch eine Induktion
entschieden, wenn ich nach dieser Induktion fragen konnte.
Wenn mir also ihr Zeichen von vornherein auf ja und nein bestimmt war,
so daß ich rechnerisch zwischen ihnen
entscheiden konnte, wie
z.B., ob der Rest in
5 : 7 gleich
oder ungleich dem Dividenden sein wird.
(Die Verwendung der Ausdrücke “alle …” und
“es gibt …” für diese Fälle hat eine gewisse
Ähnlichkeit mit der Verwendung des Wortes
“unendlich” im Satz “heute habe ich ein Lineal
mit unendlichem Krümmungsradius gekauft”.)