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Man fasst die Periodizität eines Bruches,
z.B. , so auf, als
bestünde // bestehe
// sie darin, dass etwas, was
[,|m]an die Ex[f|t]ension des unendlichen
Dezimalbruchs nennt, nur aus // aus lauter
// Dreien besteht, und dass die
Gleichheit des Restes dieser Division mit dem Dividenden nur das
Anzeichen für diese Eigenschaft der unendlichen
Extension sei.
Oder aber man korrigiert diese Meinung dahin, dass
nicht eine unendliche Extension diese Eigenschaft habe, sondern
eine unendliche Reihe endlicher Extensionen; und hierfür sei wieder
die Eigenschaft der Division ein Anzeigen.
Man kann nun sagen: die Extension mit einem Glied
sei 0,3, die mit 2
Gliedern 0,33, die mit
dreien 0,333,
u.s.w..
Das ist eine Regel und das
“u.s.w.” bezieht sich auf die
Regelmässigkeit, und die Regel könnte auch
geschrieben werden “/0,3, 0,x,
0,x3/”.
Das, was aber durch die Division
11 : 3 = 0,3 bewiesen ist, ist
diese Regelmässigkeit im Gegensatz zu
einer andern, nicht die Regelmässigkeit im
700 Gegensatz zur
Unregelmässigkeit.
Die periodische Division, also
11 : 3 = 0,3 (im Gegensatz
zu beweist
eine Periodizität der Quotienten,
d.h. sie bestimmt die Regel (die
Periode), legt sie fest, aber ist nicht ein Anzeichen dafür,
dass eine Regelmässigkeit
“vorhanden ist”.
Wo ist sie denn vorhanden?
Etwa in den bestimmten Entwicklungen, die ich auf diesem Papier
gebildet habe.
Aber das sind doch nicht “die Entwicklungen”.
(Hier werden wir irregeführt von der Idee der nicht
aufgeschriebenen, idealen Extensionen, die ein ähnliches Unding sind, wie
die idealen, nicht gezogenen geometrischen Geraden,
die/wir gleichsam nur in der
Wirklichkeit nachziehen, wenn wir sie zeichnen.)
Wenn ich sagte “das
‘u.s.w.’ bezieht sich auf die
Regelmässigkeit”, so unterschied ich es
von dem ‘u.s.w.’ in
“er las alle Buchstaben: a, b, c,
u.s.w.”.
Wenn ich sage: “die Extensionen von
1:3 sind
0,3,
0,33,
0,333,
u.s.w.”, so gebe ich
drei Extensionen und – eine Regel.
Unendlich ist nur diese, und zwar in keiner andern Weise, als die
Division 11 : 3 = 0,3.
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