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Das Gewebe der Irrtümer auf diesem Gebiet ist natürlich ein sehr
kompliziertes.
Es tritt
z.B. noch die Verwechslung zweier
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verschiedener Bedeutungen des Wortes “Art” hinzu.
Man gibt nämlich zu, dass die unendlichen Zahlen
eine andre Art Zahlen sind, als die endlichen, aber man
missversteht nun, worin hier der Unterschied
verschiedener Arten besteht.
Dass es sich nämlich hier nicht um die Unterscheidung
von Gegenständen nach ihren Eigenschaften handelt, wie wenn man rote
Aepfel von gelben
unterscheitet, sondern um verschiedene logische Formen. –
So versucht Dedekind
eine unendliche Klasse zu beschreiben; indem er sagt,
es sei eine, die einer echten Teilklasse ihrer selbst ähnlich
ist.
Hierdurch hat er scheinbar eine Eigenschaft angegeben, die die Klasse
haben muss, um unter den Begriff
‘unendliche Klasse’ zu fallen.
(Frege.)
Denken wir uns nun die Anwendung dieser // der
// Definition.
Ich soll also in einem bestimmten Fall untersuchen, ob eine Klasse
endlich ist oder nicht, etwa ob eine bestimmte Baumreihe endlich oder
endlos ist.
Ich nehme also, der Definition folgend, eine Teilklasse dieser
Baumreihe und untersuche, ob sie der ganzen Klasse ähnlich
(d.h. 1–1 koordinierbar) ist!
(Hier fängt gleichsam schon Alles an zu lachen.)
Das heisst ja gar nichts: denn, nehme ich eine
“endliche Klasse” als Teilklasse, so
muss ja der Versuch, sie der ganzen Klasse 1 zu 1
zuzuordnen eo ipso misslingen; und mache
ich den Versuch an einer unendlichen Teilklasse, ‒ ‒ ‒ aber das
heisst ja schon erst recht nichts, denn, wenn sie
unendlich ist, kann ich den Versuch dieser Zuordnung gar nicht machen. –
Das, was man im Fall eine[s|r] endlichen Klasse
‘Zuordnung aller ihrer Glieder mit andern’
nennt, ist etwas ganz anderes, als das, was man
z.B.
eine Zuordnung aller Kardinalzahlen mit allen Rationalzahlen
nennt.
Die beiden Zuordnungen, oder, was man in den zwei Fällen mit diesem
Wort bezeichnet, gehören verschiedenen logischen
Kathegorien // Typen
// an.
Und es ist nicht die “unendliche Klasse” eine Klasse,
die mehr Glieder im gewöhnlichen Sinn des Wortes “mehr”
enthält, als die endlichen.
Und wenn man sagt, dass eine unendliche Zahl
grösser ist, als eine endliche, so macht das die beiden
nicht vergleichbar, weil in dieser Aussage das Wort
“grösser” eine andere
Bedeutung hat, als etwa im Satz “5
grösser als 4”. 744 | | |