Nehmen wir an, wir würfen mit einer Münze “Kopf und
Adler” und teilen nun eine Strecke AB nach folgender
Regel: “Kopf” sagt:
nimm die linke Hälfte und teile sie, wie
der nächste Wurf vorschreibt.
“Adler” sagt: nimm die rechte Hälfte
etc.
Durch fortgese
tztes Würfeln erzeuge ich dann
Schnittpunkte, die sich in
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einem immer kleineren Interval
l
bewegen.
Beschreibt es nun die Lage eines Punktes, wenn ich sage, es solle der
sein, dem sich bei fortgesetztem Würfeln die Schnitte unendlich
nähern?
Hier glaubt man etwa einen Punkt bestimmt zu haben, der einer
regellosen unendlichen Dezimalzahl entspricht.
Aber die Beschreibung bestimmt doch
ausdrücklich:
keinen Punkt; es sei denn, daß man sagt,
daß die Worte “Punkt auf dieser
Stre
cke” auch “einen
Punkt bestimmen”.
Wir verwechseln hier die Vorschrift des Wür
felns mit der
mathematischen Vorschrift, etwa Dezimalstellen der √2 zu
erzeugen.
Diese mathematischen Vorschriften
sind die Punkte.
D.h., es lassen sich zwischen diesen Vorschriften
Beziehungen
finden, die in ihrer Grammatik den Beziehungen
“größer” und
“kleiner” zwischen zwei Strecken analog sind und daher
mit diesen Worten bezeichnet werden.
Die Vorschrift, Stellen der √2 auszurechnen, ist das Zahlzeichen
der irrationalen Zahl selbst; und ich rede hier von einer
“Zahl”, weil ich mit diesen Zeichen
(gewissen Vorschriften zur Bildung von Rationalzahlen) ähnlich
rechnen kann, wie mit den Rationalzahlen selbst.
Will ich also analog sagen, die Vorschrift des endlosen Halbierens
nach Kopf und Adler bestimme einen Punkt, eine
Zahl, so müßte das heißen,
daß diese Vorschrift als Zahlzeichen,
d.h. analog andern Zahlzeichen, gebraucht werden
kann.
Das ist aber natürlich nicht der Fall.
Sollte diese Vorschrift einem Zahlzeichen entsprechen, so höchstens
(sehr entfernt) dem unbestimmten Zahlwort
“einige”, denn sie tut nichts, als eine Zahl offen zu
lassen.
Mit einem Wort, ihr entspricht nichts anderes, als das ursprüngliche
Interval
l AB.