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3 × 2 =
5 + 1
3 × (a + 1) = 3 +
(3 × a) = (5 + b) + 3 = 5 + (b
+ 3)
Warum nennst Du denn diese Induktion den Beweis dafür,
dass (n): n
≧ 2
.C. .C. 3 × n ≠
5?! –
Nun, siehst Du denn nicht, dass der Satz, wenn er für
n =
2 gilt, auch für n = 3 gilt, und dann auch für
n =
4, und dass es immer so weiter
geht?
(Was erkläre ich denn, wenn ich das Funktionieren des induktiven
Beweises erkläre?)
Du nennst ihn also einen Beweis für “f(2)
& f(3) & f(4) &
u.s.w.”, ist er aber nicht
vielmehr die Form der Beweise für “f(2)” und
“f(3)” und
“f(4)”
u.s.w.?
Oder kommt das auf
eins hinaus?
Nun, wenn ich die Induktion den Beweis
eines Satzes nenne,
dann darf ich es nur, wenn das nichts anderes heissen
soll, als dass sie jeden Satz einer gewissen Form
beweist.
(Und mein Ausdruck bedient sich der Analogie vom Verhältnis der Sätze
“alle Säuren färben Lakmuspapier rot”,
“Schwefelsäure färbt Lakmuspapier
rot”.)
Denken wir nun, jemand sagte “prüfen wir nach, ob
f(n) für alle n
gilt” und nun fängt er an, die Reihe zu schreiben:
3 × 2 = 5
+ 1
3 × (2 +
1) = (3 × 2) + 3 = (5 + 1) + 3
= 5 + (1 + 3)
3 × (2 +
2) = (3 × (2 + 1)) + 3 = (5
+ (1 + 3)) + 3 = 5 +
(1 + 3 + 3)